- 数学Ⅱ｜三角関数「和・差を積にする公式を用いた方程式の解」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜和・差を積にする公式を用いた方程式の解
三角関数 55☆\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、方程式 \(\sin 3x-\sin x=0\) の解の求め方は？(和を積にする公式)
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
和・差を積にする公式を用いた方程式の解
Point：和・差を積にする公式を用いた方程式の解
① 和・差を積にする公式を用いて、方程式を積の形に式変形する。
\(\sin {\rm A}+\sin {\rm B}=2 \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\sin {\rm A}-\sin {\rm B}=2 \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\cos {\rm A}+\cos {\rm B}=2 \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\cos {\rm A}-\cos {\rm B}=-2 \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
② 2倍角の公式などを用いて、因数分解していき、方程式の解を求める。
和・差を積にする公式を用いた方程式の解は、
① 和・差を積にする公式を用いて、方程式を積の形に式変形する。
\(\sin {\rm A}+\sin {\rm B}=2 \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\sin {\rm A}-\sin {\rm B}=2 \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\cos {\rm A}+\cos {\rm B}=2 \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\cos {\rm A}-\cos {\rm B}=-2 \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
② 2倍角の公式などを用いて、因数分解していき、方程式の解を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜和・差を積にする公式を用いた方程式の解
三角関数 55☆
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、方程式 \(\sin 3x-\sin x=0\) の解の求め方は？(和を積にする公式)
高校数学Ⅱ｜三角関数
差を積にする公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 3x-\sin x&=&0
\\[5pt]~~~2\cos \displaystyle \frac{\,3x+x\,}{\,2\,} \cdot \sin \displaystyle \frac{\,3x-x\,}{\,2\,}&=&0
\\[5pt]~~~2\cos \displaystyle \frac{\,4x\,}{\,2\,} \cdot \sin \displaystyle \frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&0
\\[5pt]~~~2\cos 2x \cdot \sin x&=&0\end{eqnarray}\)
2倍角の公式 \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2(1-2\sin^2 x) \cdot \sin x&=&0
\\[5pt]~~~2\sin x(2\sin^2 x-1)&=&0
\\[5pt]~~~2\sin x(\sqrt{\,2\,}\sin x+1)(\sqrt{\,2\,}\sin x-1)&=&0\end{eqnarray}\)
これより、
\(\sin x=0~,~\pm\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\)
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) の範囲より、
単位円上の \(y=0~,~\pm\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) との交点より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の0個分、1個分、3個分、4個分、5個分、7個分である。
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の0個分、1個分、3個分、4個分、5個分、7個分である。
したがって、
\(x=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) となる
