- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「0や負の整数の指数」の基本例題解説ページです。
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問題｜0や負の整数の指数
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
0や負の整数の指数
\(a \neq 0\) 、\(n\) は正の整数であるとき、
\([\,1\,]\) \(0\) 乗の値
\(a^0=1\)
※ どんな値 \(a\) でも \(0\) 乗すると \(1\) となる。
\([\,2\,]\) 負の数の累乗の値
\(a^{-1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}~,~a^{-2}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^2\,}~,~a^{-3}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^3\,}~\cdots\)
\(a^{-n}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^n\,}\)
※ 負の数の指数は逆数となる。
逆に、分子が1の分数は、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}=a^{-1}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^2\,}=a^{-2}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^3\,}=a^{-3}~\cdots\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^n\,}=a^{-n}\)
※ 負の数の累乗で表すことができる。
また、\(a \neq 0\) 、\(b \neq 0\) のとき、
\(\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\right)^{-n}=\left(\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)^n\)
※ 分数の \(-n\) 乗は、逆数の \(n\) 乗となる。
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詳しい解説｜0や負の整数の指数
\(3^0~,~\)\(5^{-1}~,~\)\(2^{-3}~,~\)\((-2)^{-3}~,~\)\(0.5^{-3}\) の計算方法は？また、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}~,~\)\(1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^2\,}\) を \(a^n\) の形で表す方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(a^0=1\) より、\(0\) 乗すると \(1\) となる
\(~~~3^0=1\)
\(a^{-n}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^n\,}\) より、\(-n\) 乗は分数で表すことができる
\(\begin{eqnarray}~~~5^{-1}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(a^{-n}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^n\,}\) より、\(-n\) 乗は分数で表すことができる
\(\begin{eqnarray}~~~2^{-3}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}
\\[3pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\(a^{-n}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^n\,}\) より、\(-n\) 乗は分数で表すことができる
\(\begin{eqnarray}~~~(-2)^{-3}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(-2)^3\,}
\\[3pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,-8\,}
\\[3pt]&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\(\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\right)^{-n}=\left(\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)^n\) より、分数の \(-n\) 乗は逆数の \(n\) 乗とすることができる
\(\begin{eqnarray}~~~0.5^{-3}&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{-3}
\\[5pt]&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,}\right)^{3}
\\[3pt]&=&8\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^n\,}=a^{-n}\) より、分子が \(1\) の分数は負の数の累乗で表すことができる
\(~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}=a^{-1}\)
\(a^0=1\) より、\(1\) は \(a\) の \(0\) 乗とすることができる
\(~~~1=a^0\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^n\,}=a^{-n}\) より、分子が \(1\) の分数は負の数の累乗で表すことができる
\(~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^2\,}=a^{-2}\)
