- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「累乗根で表された数」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜累乗根で表された数
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
累乗根で表された数
\(n\) を正の整数とするとき、\(n\) 乗すると \(a\) になる数 \(x\) を \(a\) の \(n\) 乗根といい、次のように表す。
\(x=\sqrt[n]{a}\) ( \(a\) の \(n\) 乗根 )
ただし、\(\sqrt[n]{0}=0\) である。
■ \(n\) が奇数のとき、\(n\) 乗根はただ \(1\) つ
\(-8\) の \(3\) 乗根は \(-2\)
■ \(n\) が偶数のとき、\(n\) 乗根は正と負の2つある
\(81\) の \(4\) 乗根は、\(3\) と \(-3\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜累乗根で表された数
累乗根 \(\sqrt[3]{-27}~,~\)\(\sqrt[4]{81}~,~\)\(\sqrt[5]{-32}~,~\)\(\sqrt[3]{0.001}\) の計算方法は？また、\(125\) の \(3\) 乗根や \(16\) の \(4\) 乗根の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(-27=(-3)^3\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[3]{-27}&=&\sqrt[3]{(-3)^3}
\\[3pt]&=&-3\end{eqnarray}\)
\(81=3^4\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[4]{81}&=&\sqrt[4]{3^4}
\\[3pt]&=&3\end{eqnarray}\)
\(-32=(-2)^5\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[5]{-32}&=&\sqrt[5]{(-2)^5}
\\[3pt]&=&-2\end{eqnarray}\)
\(0.001=0.1^3\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[3]{0.001}&=&\sqrt[3]{0.1^3}
\\[3pt]&=&0.1\end{eqnarray}\)
【別解】分数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[3]{0.001}&=&\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1000\,}}
\\[5pt]&=&\sqrt[3]{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\right)^3}
\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}
\\[5pt]&=&0.1\end{eqnarray}\)
\(125\) の \(3\) 乗根は、\(3\) 乗して \(125\) になる数なので、
\(5^3=125\) より、\(5\) となる
\(16\) の \(4\) 乗根は、\(4\) 乗して \(16\) になる数なので、
\(2^4=16\)、\((-2)^4=16\) より、\(\pm 2\) となる
