- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「累乗根の性質と式の計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜累乗根の性質と式の計算
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
累乗根の性質と式の計算
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) で、\(m~,~n~,~p\) は正の整数とするとき、
\(\begin{eqnarray}{\small [\,1\,]}~~\sqrt[\large n]{a}\cdot\sqrt[\large n]{b}&=&\sqrt[\large n]{ab}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}{\small [\,2\,]}~~\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large n]{a}\,}{\,\sqrt[\large n]{b}\,}&=&\sqrt[\large n]{\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}}\end{eqnarray}\)
※ 同じ \(n\) 乗根は1つにまとめることができる。
\(\begin{eqnarray}{\small [\,3\,]}~~\left(\sqrt[\large n]{a}\right)^m&=&\sqrt[\large n]{a^m}\end{eqnarray}\)
※ \(\sqrt[\large n]{a}\) の \(m\) 乗は、\(a^m\) の \(n\) 乗根とできる。
\(\begin{eqnarray}{\small [\,4\,]}~~\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}&=&\sqrt[\large mn]{a}\end{eqnarray}\)
※ \(a\) の \(n\) 乗根の \(m\) 乗根は、\(a\) の \(mn\) 乗根。
\(\begin{eqnarray}{\small [\,5\,]}~~\sqrt[\large n]{a^m}&=&\sqrt[\large np]{a^{mp}}\end{eqnarray}\)
※ \(n\) 乗根と \(n\) 乗をともに \(p\) 倍できる。
また、\(x~,~y\) を実数として、
\(\begin{eqnarray}{\small [\,6\,]}~~x\sqrt[\large n]{a}+y\sqrt[\large n]{a}&=&(x+y)\sqrt[\large n]{a}\end{eqnarray}\)
※ 平方根と同様に計算できる。
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詳しい解説｜累乗根の性質と式の計算
\(\sqrt[\large 3]{4}{\, \small \times \,}\sqrt[\large 3]{16}~,~\)\(\sqrt{\sqrt[\large 3]{64}}~,~\)\(\sqrt[\large 6]{125}~,~\)\(\sqrt[\large 3]{81}-\sqrt[\large 3]{24}\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(3\) 乗根の中の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[\large 3]{4}{\, \small \times \,}\sqrt[\large 3]{16}&=&\sqrt[\large 3]{4{\, \small \times \,}16}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{4{\, \small \times \,}4^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{4^3}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
※ \(3\) 乗根の中を \(2^6\) としてもよいが、\(3\) 乗根と外すために、中を \(3\) 乗の形の \(4^3\) とする。
\(3\) 乗根の平方根より、積となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\sqrt[\large 3]{64}}~&=&\sqrt[\large 2{\small \times}3]{2^6}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 6]{2^6}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(6\) 乗根を \(3\) 乗根の平方根とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[\large 6]{125}&=&\sqrt[\large 6]{5^3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 2{\small \times}3]{5^3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 2]{5^1}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
それぞれの \(3\) 乗根の中を整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[\large 3]{81}-\sqrt[\large 3]{24}&=&\sqrt[\large 3]{3^4}-\sqrt[\large 3]{2^3{\, \small \times \,}3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{3^3{\, \small \times \,}3}-\sqrt[\large 3]{2^3{\, \small \times \,}3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{3^3}\cdot\sqrt[\large 3]{3}-\sqrt[\large 3]{2^3}\cdot\sqrt[\large 3]{3}
\\[3pt]~~~&=&3\sqrt[\large 3]{3}-2\sqrt[\large 3]{3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large 3]{3}\end{eqnarray}\)
※ \(3\) 乗根を外したいので、\(3^4=\sqrt[\large 3]{3^3\cdot3}=\sqrt[\large 3]{3^3}\cdot\sqrt[\large 3]{3}\) と分ける。
