- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「有理数(分数)が指数である累乗」の基本例題解説ページです。
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問題｜有理数(分数)が指数である累乗
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
有理数(分数)が指数である累乗
\(a \gt 0\) で、\(m~,~n\) が正の整数のとき、
\({\small [\,1\,]}~\) \(a^{\large \frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)
指数が分数のとき、
分母が \(n\) 乗根で 分子が \(m\) 乗となる。
\({\small [\,2\,]}~\) \(a^{-\large \frac{m}{n}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt[n]{a^m}\,}\)
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詳しい解説｜有理数(分数)が指数である累乗
指数が有理数である累乗 \(25^{\large \frac{1}{2}}~,~\)\(27^{-\large \frac{1}{3}}~,~\)\(32^{-\large \frac{2}{5}}\) の計算方法は？また、\(\sqrt[5]{a^2}~,~\)\(\sqrt{a^{-3}}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt[3]{a^2}\,}\) を \(a^{\large \frac{m}{n}}\) の形で表す方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
指数が分数である累乗は、累乗根で表すことができるので、
\(\begin{eqnarray}~~~25^{\large \frac{1}{2}}&=&\sqrt{\,25\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5^2\,}
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
【別解】そのまま指数法則を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~25^{\large \frac{1}{2}}&=&(5^2)^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&5^{2{\, \small \times \,}\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&5^1
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
指数が分数である累乗は、累乗根で表すことができるので、
\(\begin{eqnarray}~~~27^{\large -\frac{1}{3}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,27^{\large \frac{1}{3}}\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt[3]{27}\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt[3]{3^3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
【別解】そのまま指数法則を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~27^{-\large \frac{1}{3}}&=&(3^3)^{-\large \frac{1}{3}}
\\[3pt]~~~&=&3^{3{\, \small \times \,}(-\large \frac{1}{3})}
\\[3pt]~~~&=&3^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
指数が分数である累乗は、累乗根で表すことができるので、
\(\begin{eqnarray}~~~32^{-\large \frac{2}{5}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,32^{\large \frac{2}{5}}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt[5]{32^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt[5]{(2^5)^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt[5]{(2^2)^5}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
【別解】そのまま指数法則を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~32^{-\large \frac{2}{5}}&=&(2^5)^{-\large \frac{2}{5}}
\\[5pt]~~~&=&2^{5{\, \small \times \,}\left(-\large \frac{2}{5}\right)}
\\[5pt]~~~&=&2^{-2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
累乗根は、指数が分数の累乗で表すことができるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt[5]{a^2}&=&(a^2)^{\large \frac{1}{5}}
\\[3pt]~~~&=&a^{2{\, \small \times \,}\large \frac{1}{5}}
\\[3pt]~~~&=&a^{\large \frac{2}{5}}\end{eqnarray}\)
累乗根は、指数が分数の累乗で表すことができるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{a^{-3}}&=&(a^{-3})^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&a^{-3{\, \small \times \,}\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&a^{-\large \frac{3}{2}}\end{eqnarray}\)
累乗根は、指数が分数の累乗で表すことができるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt[3]{a^2}\,}&=&(\sqrt[3]{a^2})^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left\{(a^2)^{\large \frac{1}{3}}\right\}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&a^{2{\, \small \times \,}\large \frac{1}{3}{\, \small \times \,}(-1)}
\\[5pt]~~~&=&a^{-\large \frac{2}{3}}\end{eqnarray}\)
