- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「有理数が指数の指数法則の計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜有理数が指数の指数法則の計算
指数関数と対数関数 06\(9^{\large \frac{1}{3}}{\, \small \div \,}9^{\large \frac{1}{12}} {\,\small\times\,} 9^{\large \frac{1}{4}}~,~\)\(\left(16^{\large \frac{1}{6}}\right)^{\large \frac{3}{4}}~,~\)\(\sqrt{\,a\,} {\,\small\times\,} \sqrt[3]{\,a^2\,}{\, \small \div \,}\sqrt[6]{\,a\,}\)の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
有理数が指数の指数法則の計算
Point：有理数が指数の指数法則の計算
① 累乗根を有理数の指数で表す。
\(\sqrt[n]{\,a^m\,}=a^{\large \frac{m}{n}}\)
② 指数法則を用いて、
\(a \neq 0~,~b \neq 0\) で、\(p~,~q\) が有理数のとき、
■ 指数法則
\(\small [\,1\,]~\) \(a^p {\,\small\times\,} a^q=a^{p+q}\)
\(a^p\) と \(a^q\) の積は、指数の和
\(\small [\,2\,]~\) \(a^p{\, \small \div \,}a^q=a^{p-q}\)
\(a^p\) と \(a^q\) の商は、指数の差
\(\small [\,3\,]~\) \((a^p)^q=a^{pq}\)
\(a^p\) の \(q\) 乗は、指数の積
\(\small [\,4\,]~\) \((a\,b)^p=a^p\,b^p~,~\left(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\right)^p=\displaystyle\frac{\,a^p\,}{\,b^p\,}\)
2数 \(a~,~b\) の積・商の \(p\) 乗は、
それぞれの \(p\) 乗の積・商
有理数（分数）が指数の数の累乗の、指数法則を用いた計算は、
① 累乗根を有理数の指数で表す。
\(\sqrt[n]{\,a^m\,}=a^{\large \frac{m}{n}}\)
② 指数法則を用いて、
\(a \neq 0~,~b \neq 0\) で、\(p~,~q\) が有理数のとき、
■ 指数法則
\(\small [\,1\,]~\) \(a^p {\,\small\times\,} a^q=a^{p+q}\)
\(a^p\) と \(a^q\) の積は、指数の和
\(\small [\,2\,]~\) \(a^p{\, \small \div \,}a^q=a^{p-q}\)
\(a^p\) と \(a^q\) の商は、指数の差
\(\small [\,3\,]~\) \((a^p)^q=a^{pq}\)
\(a^p\) の \(q\) 乗は、指数の積
\(\small [\,4\,]~\) \((a\,b)^p=a^p\,b^p~,~\left(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\right)^p=\displaystyle\frac{\,a^p\,}{\,b^p\,}\)
2数 \(a~,~b\) の積・商の \(p\) 乗は、
それぞれの \(p\) 乗の積・商
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詳しい解説｜有理数が指数の指数法則の計算
指数関数と対数関数 06
\(9^{\large \frac{1}{3}}{\, \small \div \,}9^{\large \frac{1}{12}} {\,\small\times\,} 9^{\large \frac{1}{4}}~,~\)\(\left(16^{\large \frac{1}{6}}\right)^{\large \frac{3}{4}}~,~\)\(\sqrt{\,a\,} {\,\small\times\,} \sqrt[3]{\,a^2\,}{\, \small \div \,}\sqrt[6]{\,a\,}\)の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
指数法則を用いて、指数部分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&9^{\large \frac{1}{3}}{\, \small \div \,}9^{\large \frac{1}{12}} {\,\small\times\,} 9^{\large \frac{1}{4}}
\\[3pt]~~~&=&9^{\large \frac{1}{3}-\frac{1}{12}+\frac{1}{4}}
\\[3pt]~~~&=&9^{\large \frac{4-1+3}{12}}
\\[3pt]~~~&=&9^{\large \frac{6}{12}}
\\[3pt]~~~&=&9^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&(3^2)^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
指数法則を用いて、指数部分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(16^{\large \frac{1}{6}}\right)^{\large \frac{3}{4}}
\\[3pt]~~~&=&16^{\large \frac{1}{6} {\,\small\times\,} \frac{3}{4}}
\\[3pt]~~~&=&16^{\large \frac{1}{8}}
\\[3pt]~~~&=&(2^4)^{\large \frac{1}{8}}
\\[3pt]~~~&=&2^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
累乗根を有理数の指数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,a\,} {\,\small\times\,} \sqrt[3]{\,a^2\,}{\, \small \div \,}\sqrt[6]{\,a\,}
\\[3pt]~~~&=&a^{\large \frac{1}{2}} {\,\small\times\,} a^{\large \frac{2}{3}}{\, \small \div \,}a^{\large \frac{1}{6}}\end{eqnarray}\)
指数法則を用いて、指数部分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^{\large \frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}
\\[3pt]~~~&=&a^{\large \frac{3+4-1}{6}}
\\[3pt]~~~&=&a^{\large \frac{6}{6}}
\\[3pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
