- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「xᵃ+x⁻ᵃとxᵃx⁻ᵃ=1を用いた計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜xᵃ+x⁻ᵃとxᵃx⁻ᵃ=1を用いた計算
指数関数と対数関数 08☆\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) のとき、\(x+x^{-1}~,~\)\(x^2+x^{-2}~,~\)\(x^3+x^{-3}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
xᵃ+x⁻ᵃとxᵃx⁻ᵃ=1を用いた計算
Point：xᵃ+x⁻ᵃとxᵃx⁻ᵃ=1を用いた計算
■ \(x+x^{-1}\) の値
\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) のとき、\(x+x^{-1}\) の値は、両辺を2乗して求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\left(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}\right)^2&=&3^2\\[3pt]~~~x+2x^{\large \frac{1}{2}} \cdot x^{\large -\frac{1}{2}}+x^{-1}&=&9\\[3pt]~~~x+x^{-1}&=&7\end{eqnarray}\)
■ \(x^2+x^{-2}\) や \(x^3+x^{-3}\) の値
\(x^2+x^{-2}\) や \(x^3+x^{-3}\) の値は、対称式を用いて求める。
\(x^ax^{-a}=1\) を利用した計算は、
■ \(x+x^{-1}\) の値
\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) のとき、\(x+x^{-1}\) の値は、両辺を2乗して求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\left(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}\right)^2&=&3^2\\[3pt]~~~x+2x^{\large \frac{1}{2}} \cdot x^{\large -\frac{1}{2}}+x^{-1}&=&9\\[3pt]~~~x+x^{-1}&=&7\end{eqnarray}\)
■ \(x^2+x^{-2}\) や \(x^3+x^{-3}\) の値
\(x^2+x^{-2}\) や \(x^3+x^{-3}\) の値は、対称式を用いて求める。
\(x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2\,xx^{-1}\)
\(x^3+x^{-3}=(x+x^{-1})^3-3\,xx^{-1}(x+x^{-1})\)
\(x^3+x^{-3}=(x+x^{-1})^3-3\,xx^{-1}(x+x^{-1})\)
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詳しい解説｜xᵃ+x⁻ᵃとxᵃx⁻ᵃ=1を用いた計算
指数関数と対数関数 08☆
\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) のとき、\(x+x^{-1}~,~\)\(x^2+x^{-2}~,~\)\(x^3+x^{-3}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}\right)^2&=&3^2\\[3pt]~~~(x^{\large \frac{1}{2}})^2+2 \cdot x^{\large \frac{1}{2}} \cdot x^{\large -\frac{1}{2}}+(x^{\large -\frac{1}{2}})^2&=&9\end{eqnarray}\)
ここで、\(x^{\large \frac{1}{2}} \cdot x^{\large -\frac{1}{2}}=x^{\large \frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=x^0=1\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+2 \cdot 1+x^{-1}&=&9\\[3pt]~~~x+x^{-1}&=&9-2\\[3pt]~~~x+x^{-1}&=&7\end{eqnarray}\)
次に、\(x^2+x^{-2}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+x^{-2}\\[3pt]~~~&=&(x+x^{-1})^2-2\,x\,x^{-1}\end{eqnarray}\)
\(x+x^{-1}=7~,~x\,x^{-1}=1\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&7^2-2 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&49-2\\[3pt]~~~&=&47\end{eqnarray}\)
次に、\(x^3+x^{-3}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^3+x^{-3}\\[3pt]~~~&=&(x+x^{-1})^3-3\,xx^{-1}\, (x+x^{-1})\end{eqnarray}\)
\(x+x^{-1}=7~,~x\,x^{-1}=1\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&7^3-3 \cdot 1 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&343-21\\[3pt]~~~&=&322\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x+x^{-1}=7~,~\)\(x^2+x^{-2}=47~,~\)
\(x^3+x^{-3}=322\) となる
