このページは、「xᵃ+x⁻ᵃとxᵃx⁻ᵃ=1を用いた計算」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=4\) のとき、次の式の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(x+x^{-1}\) \({\small (2)}~\)\(x^2+x^{-2}\)
\({\small (1)}~\)\(x+x^{-1}\) \({\small (2)}~\)\(x^2+x^{-2}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.186 練習問題A 1
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.194 Level Up 3
\({\small (1)}~\)\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=4\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}\right)^2&=&4^2\\[3pt]~~~(x^{\large \frac{1}{2}})^2+2 \cdot x^{\large \frac{1}{2}} \cdot x^{\large -\frac{1}{2}}+(x^{\large -\frac{1}{2}})^2&=&16\end{eqnarray}\)
ここで、\(x^{\large \frac{1}{2}} \cdot x^{\large -\frac{1}{2}}=x^{\large \frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=x^0=1\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+2 \cdot 1+x^{-1}&=&16\\[3pt]~~~x+x^{-1}&=&16-2\\[3pt]~~~x+x^{-1}&=&14\end{eqnarray}\)
したがって、\(x+x^{-1}=14\) となる
\({\small (2)}~\)\(x^2+x^{-2}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+x^{-2}\\[3pt]~~~&=&(x+x^{-1})^2-2 \cdot xx^{-1}\end{eqnarray}\)
\(x+x^{-1}=14~,~xx^{-1}=1\)より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&14^2-2 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&196-2\\[3pt]~~~&=&194\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^2+x^{-2}=194\) となる
