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問題｜指数関数の大小比較
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
指数関数の大小比較
指数関数の大小比較は、
■ 底が統一できる場合
① 同じ底の累乗で表す。 \(a^p~,~a^q\)
② 指数部分の大小比較をする。 \(p \lt q\)
③ 底の値に注意して指数関数の大小比較をする。
\(\small [\,1\,]\) 底が \(1\) より大きいとき、
大小関係はそのままで、 \(a^p \lt a^q\)
\(\small [\,2\,]\) 底が \(1\) より小さいとき、
大小関係は逆となり、 \(a^p \gt a^q\)
■ 底が統一できない場合
① 同じ指数の累乗で表す。
\(\sqrt{2}=2^{\large \frac{1}{2}}=8^{\large \frac{1}{6}}~,~\)\(\sqrt[3]{3}=3^{\large \frac{1}{3}}=9^{\large \frac{1}{6}}\)
② 底を比較して、指数関数の大小比較をする。
\(8 \lt 9\) より、\(8^{\large \frac{1}{6}} \lt 9^{\large \frac{1}{6}}\)
よって、\(\sqrt{2} \lt \sqrt[3]{3}\)
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詳しい解説｜指数関数の大小比較
\(1~,~\)\(2~,~\)\(\sqrt[3]{4}~,~\)\(\sqrt[5]{8}\) や \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}~,~\)\(\sqrt[5]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}}\) の大小比較の方法は？また、\(\sqrt{2}~,~\)\(\sqrt[3]{3}~,~\)\(\sqrt[6]{7}\) の大小比較の方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(1~,~2~,~\sqrt[3]{4}~,~\sqrt[5]{8}\) について、
底が \(2\) の累乗で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1=2^0
\\[3pt]~~~&&2=2^1
\\[3pt]~~~&&\sqrt[3]{4}=(2^2)^{\large \frac{1}{3}}=2^{\large \frac{2}{3}}
\\[3pt]~~~&&\sqrt[5]{8}=(2^3)^{\large \frac{1}{5}}=2^{\large \frac{3}{5}}\end{eqnarray}\)
指数部分の \(0~,~1~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) を比較すると、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,15\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,15\,}\) より、
\(0 \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \lt 1\)
底 \(2\) は \(1\) より大きいので大小関係はそのままとなり、
\(2^0 \lt 2^{\large \frac{3}{5}} \lt 2^{\large \frac{2}{3}} \lt 2^1\)
したがって、
\(1 \lt \sqrt[5]{8} \lt \sqrt[3]{4} \lt 2\) となる
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}~,~\sqrt[5]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}}\) について、
底が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の累乗で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^1
\\[3pt]~~~&&\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}=\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2\right\}^{\large \frac{1}{3}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{\large \frac{2}{3}}
\\[3pt]~~~&&\sqrt[5]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}}=\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3\right\}^{\large \frac{1}{5}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{\large \frac{3}{5}}\end{eqnarray}\)
指数部分の \(1~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) を比較すると、
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,10\,}{\,15\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,15\,}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \lt 1\)
底 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) は \(1\) より小さいので大小関係は逆となり、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^1 \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{\large \frac{2}{3}} \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{\large \frac{3}{5}}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt \sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}} \lt \sqrt[5]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}}\) となる
\(\sqrt{2}~,~\sqrt[3]{3}~,~\sqrt[6]{7}\) について、
指数部分を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) で揃えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{2}=2^{\large \frac{1}{2}}=2^{\large \frac{3}{6}}=(2^3)^{\large \frac{1}{6}}=8^{\large \frac{1}{6}}
\\[3pt]~~~&&\sqrt[3]{3}=3^{\large \frac{1}{3}}=3^{\large \frac{2}{6}}=(3^2)^{\large \frac{1}{6}}=9^{\large \frac{1}{6}}
\\[3pt]~~~&&\sqrt[6]{7}=7^{\large \frac{1}{6}}\end{eqnarray}\)
底を比較すると、
\(7 \lt 8 \lt 9\)
よって、
\(7^{\large \frac{1}{6}} \lt 8^{\large \frac{1}{6}} \lt 9^{\large \frac{1}{6}}\)
したがって、
\(\sqrt[6]{7} \lt \sqrt{2} \lt \sqrt[3]{3}\) となる
