このページは、「指数関数の大小比較」の練習問題アーカイブページとなります。
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指数関数の大小比較 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ013つの数 \(3^{\large \frac{1}{3}}~,~\)\(4^{\large \frac{1}{4}}~,~\)\(5^{\large \frac{1}{5}}\) を小さい方から順に並べよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.174 問題 4
\(3^{\large \frac{1}{3}}\) と \(4^{\large \frac{1}{4}}\) を比較する
底が \(3~,~4\) より、統一できないので指数部分を統一して底で比較する。
指数部分を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\) で揃えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&3^{\large \frac{1}{3}}=3^{\large \frac{4}{12}}=(3^4)^{\large \frac{1}{12}}=81^{\large \frac{1}{12}}
\\[3pt]~~~&&4^{\large \frac{1}{4}}=4^{\large \frac{3}{12}}=(4^3)^{\large \frac{1}{12}}=64^{\large \frac{1}{12}}\end{eqnarray}\)
底を比較すると、
\(64 \lt 81\)
よって、
\(64^{\large \frac{1}{12}} \lt 81^{\large \frac{1}{12}}\)
したがって、\(4^{\large \frac{1}{4}} \lt 3^{\large \frac{1}{3}}\)
\(4^{\large \frac{1}{4}}\) と \(5^{\large \frac{1}{5}}\) を比較する
指数部分を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,20\,}\) で揃えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&4^{\large \frac{1}{4}}=4^{\large \frac{5}{20}}=(4^5)^{\large \frac{1}{20}}=1024^{\large \frac{1}{20}}
\\[3pt]~~~&&5^{\large \frac{1}{5}}=5^{\large \frac{4}{20}}=(5^4)^{\large \frac{1}{20}}=625^{\large \frac{1}{20}}\end{eqnarray}\)
底を比較すると、
\(625 \lt 1024\)
よって、
\(625^{\large \frac{1}{20}} \lt 1024^{\large \frac{1}{20}}\)
したがって、\(5^{\large \frac{1}{5}} \lt 4^{\large \frac{1}{4}}\)
したがって、
\(5^{\large \frac{1}{5}} \lt 4^{\large \frac{1}{4}} \lt 3^{\large \frac{1}{3}}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\((\sqrt{2})^6~,~(\sqrt[3]{3})^6\) の値を計算することにより、2つの数 \(\sqrt{2}~,~\sqrt[3]{3}\) の大小を比較せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.170 問題 5
\((\sqrt{2})^6\) と \((\sqrt[3]{3})^6\) を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{2})^6&=&(2^{\large \frac{1}{2}})^6
\\[3pt]~~~&=&2^3
\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt[3]{3})^6&=&(3^{\large \frac{1}{3}})^6
\\[3pt]~~~&=&3^2
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\(8 \lt 9\) より、
\((\sqrt{2})^6 \lt (\sqrt[3]{3})^6\)
\(\sqrt{2} \gt 0~,~\sqrt[3]{3} \gt 0\) より、
したがって、
\(\sqrt{2} \lt \sqrt[3]{3}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の3つの数を小さい方から順に並べよ。
\({\small (1)}~\)\(\sqrt[3]{2}~,~\)\(\sqrt[4]{3}~,~\)\(\sqrt[6]{5}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}~,~\)\(\sqrt[4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}~,~\)\(\sqrt[6]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}}\)
\({\small (1)}~\)\(\sqrt[3]{2}~,~\)\(\sqrt[4]{3}~,~\)\(\sqrt[6]{5}\)
\({\small (2)}~\)\(\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}~,~\)\(\sqrt[4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}~,~\)\(\sqrt[6]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}}\)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.194 Level Up 4
\({\small (1)}~\sqrt[3]{2}~,~\sqrt[4]{3}~,~\sqrt[6]{5}\) について、
底が \(2~,~3~,~5\) より、統一できないので指数部分を統一して底で比較する。
指数部分を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\) で揃えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt[3]{2}=2^{\large \frac{1}{3}}=2^{\large \frac{4}{12}}=(2^4)^{\large \frac{1}{12}}=16^{\large \frac{1}{12}}
\\[3pt]~~~&&\sqrt[4]{3}=3^{\large \frac{1}{4}}=3^{\large \frac{3}{12}}=(3^3)^{\large \frac{1}{12}}=27^{\large \frac{1}{12}}
\\[3pt]~~~&&\sqrt[6]{5}=5^{\large \frac{1}{6}}=5^{\large \frac{2}{12}}=(5^2)^{\large \frac{1}{12}}=25^{\large \frac{1}{12}}\end{eqnarray}\)
底を比較すると、
\(16 \lt 25 \lt 27\)
よって、
\(16^{\large \frac{1}{12}} \lt 25^{\large \frac{1}{12}} \lt 27^{\large \frac{1}{12}}\)
したがって、
\(\sqrt[3]{2} \lt \sqrt[6]{5} \lt \sqrt[4]{3}\) となる
\({\small (2)}~\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}~,~\sqrt[4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}~,~\sqrt[6]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}}\) について、
底が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\) より、統一できないので指数部分を統一して底で比較する。
指数部分を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\) で揃えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{\large \frac{1}{3}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{\large \frac{4}{12}}=\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^4\right\}^{\large \frac{1}{12}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}\right)^{\large \frac{1}{12}}
\\[5pt]~~~&&\sqrt[4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^{\large \frac{1}{4}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^{\large \frac{3}{12}}=\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^3\right\}^{\large \frac{1}{12}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\right)^{\large \frac{1}{12}}
\\[5pt]~~~&&\sqrt[6]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\right)^{\large \frac{1}{6}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\right)^{\large \frac{2}{12}}=\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\right)^2\right\}^{\large \frac{1}{12}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,49\,}\right)^{\large \frac{1}{12}}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&&\sqrt[4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^{\large \frac{1}{4}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^{\large \frac{3}{12}}=\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^3\right\}^{\large \frac{1}{12}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\right)^{\large \frac{1}{12}}
\\[5pt]~~~&&\sqrt[6]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\right)^{\large \frac{1}{6}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\right)^{\large \frac{2}{12}}=\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\right)^2\right\}^{\large \frac{1}{12}}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,49\,}\right)^{\large \frac{1}{12}}\end{eqnarray}\)
底を比較すると、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,} \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,} \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,49\,}\)
よって、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}\right)^{\large \frac{1}{12}} \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,64\,}\right)^{\large \frac{1}{12}} \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,49\,}\right)^{\large \frac{1}{12}}\)
したがって、
\(\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}} \lt \sqrt[4]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}} \lt \sqrt[6]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}}\) となる
