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問題｜指数関数を含む不等式
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
指数関数を含む不等式
指数関数を含む不等式。
① 両辺の底を同じ値にそろえる。 \(a^p{\small ~≦~}a^q\)
② 底が \(1\) より大きい or \(1\) より小さいで表現に注意して、\(x\) の範囲を求める。
\({\small [\,1\,]}\) 底が \(1\) より大きい \((a \gt 1)\) のとき、
指数部分の大小関係はそのまま \(p{\small ~≦~}q\)
\({\small [\,2\,]}\) 底が \(1\) より小さい \((a \lt 1)\) のとき、
指数部分の大小関係は逆 \(p{\small ~≧~}q\)
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詳しい解説｜指数関数を含む不等式
不等式 \(9^x{\small ~≦~}27~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\small ~≦~}5^x{\small ~≦~}25\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
両辺の底を \(3\) にそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~9^x&{\small ~≦~}&27
\\[3pt]~~~(3^2)^x&{\small ~≦~}&3^3
\\[3pt]~~~3^{2x}&{\small ~≦~}&3^3\end{eqnarray}\)
底が \(1\) より大きいので、指数部分の大小関係はそのままであり、
\(\begin{eqnarray}~~~2x&{\small ~≦~}&3
\\[5pt]~~~x&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
両辺の底を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) にそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x&\gt&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x&\gt&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3\end{eqnarray}\)
底が \(1\) より小さいので、指数部分の大小関係は逆となり、
\(x \lt 3\)
それぞれの辺の底を \(5\) にそろえると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\small ~≦~}5^x&{\small ~≦~}&25
\\[5pt]~~~5^{-1}{\small ~≦~}5^x&{\small ~≦~}&5^2\end{eqnarray}\)
底が \(1\) より大きいので、指数部分の大小関係はそのままであり、
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\)
