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問題｜指数関数を含む2次方程式・2次不等式
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
指数関数を含む2次方程式・2次不等式
指数関数を含む2次方程式・2次不等式は、
① 指数関数を \(2^x=t\) と置き換えできるように、与えられた式を式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&4^x=(2^2)^x=(2^x)^2
\\[3pt]~~~&&2^{x+1}=2^x \cdot 2^1=2 \cdot 2^x\end{eqnarray}\)
② \(2^x=t\) とおき換えて、\(t\) の値の範囲を求める。
\(4^x+2^{x+1}-8=0\) より、
\(t^2+2t-8=0\)
ただし、\(2^x \gt 0\) より \(t \gt 0\)
③ \(t\) の値の範囲に注意し、\(t\) の2次方程式（2次不等式）を解く。
\(\begin{eqnarray}~~~(t+4)(t-2)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&2\hspace{15pt}(\,∵~ t \gt 0\,)\end{eqnarray}\)
④ \(t=2^x\) と元に戻し、\(x\) の解を求める。
\(t=2^x=2\) より、\(x=1\)
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詳しい解説｜指数関数を含む2次方程式・2次不等式
方程式 \(4^x+2^{x+1}-8=0\) の解の求め方は？また、不等式 \(4^x+2^{x+1}-8{\small ~≧~}0~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{2x-1}-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 \lt 0\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(4^x+2^{x+1}-8=0\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4^x+2^{x+1}-8&=&0
\\[3pt]~~~(2^2)^x+2^x \cdot 2^1-8&=&0
\\[3pt]~~~(2^x)^2+2 \cdot 2^x-8&=&0\end{eqnarray}\)
\(2^x=t\) とおくと、
\(2^x \gt 0\) より、\(t \gt 0\)
方程式を \(t\) で表して解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2+2t-8&=&0
\\[3pt]~~~(t+4)(t-2)&=&0\end{eqnarray}\)
\(t \gt 0\) より、解は \(t=2\)
\(t=2^x\) と元に戻すと、
\(2^x=2^1\)
したがって、\(x=1\) となる
\(4^x+2^{x+1}-8{\small ~≧~}0\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4^x+2^{x+1}-8&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~(2^2)^x+2^x \cdot 2^1-8&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~(2^x)^2+2 \cdot 2^x-8&{\small ~≧~}&0\end{eqnarray}\)
\(2^x=t\) とおくと、
\(2^x \gt 0\) より、\(t \gt 0\)
不等式を \(t\) で表して解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2+2t-8&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~(t+4)(t-2)&{\small ~≧~}&0\end{eqnarray}\)
\(0\) 以上の範囲は、
\(t{\small ~≦~}-4~,~2{\small ~≦~}t\)
\(t \gt 0\) より、この不等式の解は
\(t{\small ~≧~}2\)
\(t=2^x\) と元に戻すと、
\(2^x{\small ~≧~}2^1\)
底は \(1\) より大きいので、指数の大小関係はそのまま
したがって、\(x{\small ~≧~}1\) となる
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{2x-1}-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 \lt 0\) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{2x-1}-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 &\lt& 0
\\[5pt]~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{2x} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{-1}-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 &\lt& 0
\\[5pt]~~~3\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x\right\}^2-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 &\lt& 0\end{eqnarray}\)
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x=t\) とおくと、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x \gt 0\) より、\(t \gt 0\)
不等式を \(t\) で表して解くと、
\(3t^2-4t+1 \lt 0\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\begin{array}{c c c|c}
~3&&-1&-3
\\[-1pt]
&{\times} & &
\\[-1pt]
~1&&-1&-1
\\[2pt]
\hline
&&&-4
\end{array}\)
\((3t-1)(t-1) \lt 0\)
\(0\) より小さい範囲は、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt t \lt 1\)
\(t \gt 0\) より、不等式の解は、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt t \lt 1\)
\(t=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x\) と元に戻すと、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x \lt 1\)
底を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) にそろえると、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^1 \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x \lt \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^0\)
底は \(1\) より小さいので、指数の大小関係は逆になる
したがって、\(0 \lt x \lt 1\) となる
