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問題｜指数関数を含む関数の最大値・最小値
指数関数と対数関数 15☆関数 \(y=4^x-2^{x+1}\) \((x{\small ~≦~}2)\) の最大値・最小値とそのときの \(x\) の値を求めよ。
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
指数関数を含む関数の最大値・最小値
Point：指数関数を含む関数の最大値・最小値
① 指数関数を \(2^x=t\) と置き換えできるように、与えられた関数を式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&4^x=(2^2)^x=(2^x)^2
\\[3pt]~~~&&2^{x+1}=2^x \cdot 2^1=2 \cdot 2^x\end{eqnarray}\)
② \(2^x=t\) とおき換えて、\(t\) の値の範囲を求める。
\(2^x \gt 0\) より、\(t \gt 0\)
また、\(x{\small ~≦~}2\) より \(t{\small ~≦~}4\)
よって \(0 \lt t{\small ~≦~}4\)
③ \(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成する。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&t^2-2t
\\[3pt]~~~&=&(t-1)^2-1\end{eqnarray}\)
④ 最大値・最小値を求めて、そのときの \(t\) の値からそれぞれの \(x\) の値を求める。
\(t=4\) すなわち \(x=2\) のとき最大値 \(8\)
\(t=1\) すなわち \(x=0\) のとき最小値 \(-1\)
指数関数を含む関数の最大値・最小値は、
① 指数関数を \(2^x=t\) と置き換えできるように、与えられた関数を式変形する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&4^x=(2^2)^x=(2^x)^2
\\[3pt]~~~&&2^{x+1}=2^x \cdot 2^1=2 \cdot 2^x\end{eqnarray}\)
② \(2^x=t\) とおき換えて、\(t\) の値の範囲を求める。
\(2^x \gt 0\) より、\(t \gt 0\)
また、\(x{\small ~≦~}2\) より \(t{\small ~≦~}4\)
よって \(0 \lt t{\small ~≦~}4\)
③ \(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成する。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&t^2-2t
\\[3pt]~~~&=&(t-1)^2-1\end{eqnarray}\)
④ 最大値・最小値を求めて、そのときの \(t\) の値からそれぞれの \(x\) の値を求める。
\(t=4\) すなわち \(x=2\) のとき最大値 \(8\)
\(t=1\) すなわち \(x=0\) のとき最小値 \(-1\)
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詳しい解説｜指数関数を含む関数の最大値・最小値
指数関数と対数関数 15☆
関数 \(y=4^x-2^{x+1}\) \((x{\small ~≦~}2)\) の最大値・最小値とそのときの \(x\) の値を求めよ。
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&4^x-2^{x+1}
\\[3pt]~~~&=&(2^2)^x-2^x \cdot 2^1
\\[3pt]~~~&=&(2^x)^2-2 \cdot 2^x\end{eqnarray}\)
\(2^x=t\) とおくと、
\(2^x \gt 0\) より、\(t \gt 0\)
また、\(x{\small ~≦~}2\) より
\(\begin{eqnarray}~~~2^x{\small ~≦~}2^2~\Leftrightarrow ~t{\small ~≦~}4\end{eqnarray}\)
よって、
\(0 \lt t{\small ~≦~}4\)
\(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&t^2-2t
\\[3pt]~~~&=&(t^2-2t+1)-1
\\[3pt]~~~&=&(t-1)^2-1\end{eqnarray}\)
頂点 \((1~,~-1)\) 、下に凸のグラフより、
\(t=4\) のときに最大値をとり、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&4^2-2 \cdot 4
\\[3pt]~~~&=&16-8
\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
このときの \(x\) の値は
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&2^x=4
\\[3pt]~~~2^x&=&2^2
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
また、\(t=1\) のとき頂点の \(y\) 座標 \(-1\) が最小値となり、
このときの \(x\) の値は
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&2^x=1
\\[3pt]~~~2^x&=&2^0
\\[3pt]~~~x&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=2\) のとき最大値 \(8\)
\(x=0\) のとき最小値 \(-1\) となる
