- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値
指数関数と対数関数 16☆関数 \(y=4^x+4^{-x}-2(2^x+2^{-x})\) について、\(2^x+2^{-x}=t\) とおいて、\(y\) を \(t\) で表し、\(y\) の最小値とそのときの \(x\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値
Point：2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値
① \(2^x+2^{-x}=t\) の両辺を2乗して、\(4^x+4^{-x}\) を \(t\) の式で表す。
\((2^x+2^{-x})^2=t^2\) より、
\(4^x+4^{-x}=t^2-2\)
② \(2^x\) と \(2^{-x}\) の相加平均と相乗平均の関係より、\(t\) の値の範囲と等号が成立する条件を求める。
\(2^x \gt 0~,~2^{-x} \gt 0\) より、
\(t=2^x+2^{-x}{\small ~≧~}2\)
等号が成立するのは \(x=0\) のとき
③ \(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成する。
④ 最大値と最小値を求めて、そのときの \(t\) の値から \(x\) の値を求める。
\(2^x+2^{-x}=t\) と置く関数の最大値・最小値。
① \(2^x+2^{-x}=t\) の両辺を2乗して、\(4^x+4^{-x}\) を \(t\) の式で表す。
\((2^x+2^{-x})^2=t^2\) より、
\(4^x+4^{-x}=t^2-2\)
② \(2^x\) と \(2^{-x}\) の相加平均と相乗平均の関係より、\(t\) の値の範囲と等号が成立する条件を求める。
\(2^x \gt 0~,~2^{-x} \gt 0\) より、
\(t=2^x+2^{-x}{\small ~≧~}2\)
等号が成立するのは \(x=0\) のとき
③ \(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成する。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(4^x+4^{-x})-2(2^x+2^{-x})
\\[3pt]~~~&=&t^2-2t-2
\\[3pt]~~~&=&(t-1)^2-3\end{eqnarray}\)
④ 最大値と最小値を求めて、そのときの \(t\) の値から \(x\) の値を求める。
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詳しい解説｜2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値
指数関数と対数関数 16☆
関数 \(y=4^x+4^{-x}-2(2^x+2^{-x})\) について、\(2^x+2^{-x}=t\) とおいて、\(y\) を \(t\) で表し、\(y\) の最小値とそのときの \(x\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(2^x+2^{-x}=t\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2^x+2^{-x})^2&=&t^2
\\[3pt]~~~(2^x)^2+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}+(2^{-x})^2&=&t^2
\\[3pt]~~~(2^2)^x+(2^2)^{-x}+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}&=&t^2
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}+2&=&t^2\hspace{15pt}(\,∵~2^x \cdot 2^{-x}=1\,)
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}&=&t^2-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(2^x)^2+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}+(2^{-x})^2&=&t^2
\\[3pt]~~~(2^2)^x+(2^2)^{-x}+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}&=&t^2
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}+2&=&t^2\hspace{15pt}(\,∵~2^x \cdot 2^{-x}=1\,)
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}&=&t^2-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(2^x \gt 0~,~2^{-x} \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の関係を用いると、
\(t=2^x+2^{-x}{\small ~≧~}2\sqrt{\,2^x \cdot 2^{-x}\,}=2\)
よって、
\(t{\small ~≧~}2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、等号が成立するのは、\(2^x=2^{-x}\) のときで、
\(x=-x\) より \(x=0\) のとき
これより、\(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(4^x+4^{-x})-2(2^x+2^{-x})
\\[3pt]~~~&=&(t^2-2)-2t
\\[3pt]~~~&=&t^2-2t-2
\\[3pt]~~~&=&(t^2-2t+1)-1-2
\\[3pt]~~~&=&(t-1)^2-3\end{eqnarray}\)
\(t{\small ~≧~}2\) の範囲で、頂点 \((1~,~-3)\) の下に凸のグラフより、
\(t=2\) のとき最小値をとるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2^2-2 \cdot 2-2
\\[3pt]~~~&=&4-4-2
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
また、\(t=2\) のとき、\({\small [\,2\,]}\) の等号が成立する \(x=0\) のときで、
したがって、
\(x=0\) のとき最小値 \(-2\)
