このページは、「2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(f(x)=4^x+4^{-x}-(2^x+2^{-x})-3\) について、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) \(2^x+2^{-x}=t\) とおいて、\(f(x)\) を \(t\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(f(x)\) の最小値と、そのときの \(x\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(2^x+2^{-x}=t\) とおいて、\(f(x)\) を \(t\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(f(x)\) の最小値と、そのときの \(x\) の値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.194 Level Up 6
\({\small (1)}~\)\(2^x+2^{-x}=t\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2^x+2^{-x})^2&=&t^2
\\[3pt]~~~(2^x)^2+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}+(2^{-x})^2&=&t^2
\\[3pt]~~~(2^2)^x+(2^2)^{-x}+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}&=&t^2
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}+2&=&t^2\hspace{15pt}(\,∵~2^x \cdot 2^{-x}=1\,)
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}&=&t^2-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(2^x)^2+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}+(2^{-x})^2&=&t^2
\\[3pt]~~~(2^2)^x+(2^2)^{-x}+2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x}&=&t^2
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}+2&=&t^2\hspace{15pt}(\,∵~2^x \cdot 2^{-x}=1\,)
\\[3pt]~~~4^x+4^{-x}&=&t^2-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
これより、\(f(x)\) を \(t\) の関数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&(4^x+4^{-x})-(2^x+2^{-x})-3
\\[3pt]~~~&=&(t^2-2)-t-3
\\[3pt]~~~&=&t^2-t-5\end{eqnarray}\)
したがって、\(f(x)=t^2-t-5\)
\({\small (2)}~\)\(2^x \gt 0~,~2^{-x} \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の関係を用いると、
\(t=2^x+2^{-x}{\small ~≧~}2\sqrt{\,2^x \cdot 2^{-x}\,}=2\)
よって、
\(t{\small ~≧~}2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
また、等号が成立するのは、\(2^x=2^{-x}\) のときで、
\(x=-x\) より \(x=0\) のとき
これより、\(f(x)\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&t^2-t-5
\\[3pt]~~~&=&\left(t^2-t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-5
\\[3pt]~~~&=&\left(t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,21\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(t{\small ~≧~}2\) の範囲で、頂点 \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,21\,}{\,4\,}\right)\) の下に凸のグラフより、
\(t=2\) のとき最小値をとるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&2^2-2-5
\\[3pt]~~~&=&4-2-5
\\[3pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)
また、\(t=2\) のとき、\({\small [\,2\,]}\) の等号が成立する \(x=0\) のときで、
したがって、
\(x=0\) のとき最小値 \(-3\)
