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問題｜対数の式の値
指数関数と対数関数 18対数の式 \(\log_3 27~,~\)\(\log_{10} 0.01~,~\)\(\log_2 \sqrt{2}~,~\)\(\log_4 2\) の値の求め方は？また、対数の式 \(\log_a a~,~\)\(\log_a 1~,~\)\(\log_a \displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
対数の式の値
Point：対数の式の値
① 真数を底 \(a\) の \(p\) 乗の形に式変形する。
\(\log_2 8=\log_2 2^3\)
② 公式 \(\log_a a^p=p\) を用いて、値を求める。
\(\log_2 2^3=3\)
※ \(a^p=M~,~\log_a M=p\) より、\(\log_a a^p=p\)
特に、
\(\small [\,1\,]\) \(\log_a a=1\) 真数と底が等しい
\(\small [\,2\,]\) \(\log_a 1=0\) 真数が \(1\)
\(\small [\,3\,]\) \(\log_a \displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}=-1\) 真数が底の逆数
対数の式 \(\log_2 8\) の計算方法は、
① 真数を底 \(a\) の \(p\) 乗の形に式変形する。
\(\log_2 8=\log_2 2^3\)
② 公式 \(\log_a a^p=p\) を用いて、値を求める。
\(\log_2 2^3=3\)
※ \(a^p=M~,~\log_a M=p\) より、\(\log_a a^p=p\)
特に、
\(\small [\,1\,]\) \(\log_a a=1\) 真数と底が等しい
\(\small [\,2\,]\) \(\log_a 1=0\) 真数が \(1\)
\(\small [\,3\,]\) \(\log_a \displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}=-1\) 真数が底の逆数
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詳しい解説｜対数の式の値
指数関数と対数関数 18
対数の式 \(\log_3 27~,~\)\(\log_{10} 0.01~,~\)\(\log_2 \sqrt{2}~,~\)\(\log_4 2\) の値の求め方は？また、対数の式 \(\log_a a~,~\)\(\log_a 1~,~\)\(\log_a \displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(27=3^3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_3 27&=&\log_3 3^3
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(0.01=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}=10^{-2}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10} 0.01&=&\log_{10} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}
\\[3pt]~~~&=&\log_{10} 10^{-2}
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{2}=2^{\large \frac{1}{2}}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 \sqrt{2}&=&\log_2 2^{\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(2=\sqrt{4}=4^{\large \frac{1}{2}}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_4 2&=&\log_4 \sqrt{4}
\\[3pt]~~~&=&\log_4 4^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 底が \(4\) より、真数を \(4^p\) とするために \(2=\sqrt{4}=4^{\large \frac{1}{2}}\) とする。
真数を \(a^p\) の形で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_a a&=&\log_a a^1
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
【別解】 \(\log_a a=p\) とおくと、
対数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^p&=&a
\\[3pt]~~~a^p&=&a^1\end{eqnarray}\)
よって、\(p=1\)
真数を \(a^p\) の形で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_a 1&=&\log_a a^0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
【別解】 \(\log_a 1=p\) とおくと、
対数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^p&=&1
\\[3pt]~~~a^p&=&a^0\end{eqnarray}\)
よって、\(p=0\)
真数を \(a^p\) の形で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_a \displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}&=&\log_a a^{-1}
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
【別解】 \(\log_a \displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}=p\) とおくと、
対数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^p&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}
\\[5pt]~~~a^p&=&a^{-1}\end{eqnarray}\)
よって、\(p=-1\)
