- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「底の変換公式を用いた計算」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜底の変換公式を用いた計算
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
底の変換公式を用いた計算
底が異なる対数の計算。
① 底の変換公式を用いて、底をそろえる。
\(a~,~b~,~c\) は正の数で \(a \neq 1~,~b \neq 1~,~c \neq 1\) のとき、
\(\log_ab=\displaystyle \frac{\,\log_cb\,}{\,\log_ca\,}\)
特に、\(\log_ab=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_ba\,}\)
② 対数の性質を用いて計算する。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜底の変換公式を用いた計算
\(\log_{27}81~,~\)\(\log_23 \cdot \log_35 \cdot \log_58~,~\)\(\log_36-\log_94~,~\)\((\log_32+\log_94)(\log_23+\log_43)\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
底を \(3\) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{27}81&=&\displaystyle \frac{\,\log_381\,}{\,\log_327\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_33^4\,}{\,\log_33^3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
底を \(2\) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&\log_23 \cdot \log_35 \cdot \log_58
\\[5pt]~~~&=&\log_23 \cdot \displaystyle \frac{\,\log_25\,}{\,\log_23\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_28\,}{\,\log_25\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_2 3} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_25}\,}{\,\cancel{\log_2 3}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_28\,}{\,\cancel{\log_25}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_28
\\[5pt]~~~&=&\log_22^3
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
底を \(3\) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_36-\log_94
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\displaystyle \frac{\,\log_34\,}{\,\log_39\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\displaystyle \frac{\,\log_34\,}{\,\log_33^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\displaystyle \frac{\,\log_34\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
分母の \(2\) を係数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) にして、真数の指数部分にもってくると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_36-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \log_34
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\log_34^{\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\log_3(2^2)^{\large \frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\log_36-\log_32\end{eqnarray}\)
対数の差は真数の商より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_3\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_33
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
底を \(2\) に変換すると、
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\log_22\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,\log_24\,}{\,\log_29\,}\right)\left(\log_23+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,\log_24\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,\log_22^2\,}{\,\log_23^2\,}\right)\left(\log_23+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,\log_22^2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_23\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\log_23\,}\right)\left(\log_23+\displaystyle \frac{\,\log_23\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
かっこの中を通分して計算すると、
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\log_23\,} \cdot \displaystyle \frac{\,3\log_23\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{2}\,}{\,\cancel{\log_23}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,3\cancel{\log_23}\,}{\,\cancel{2}\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
