- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「底の変換公式と等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜底の変換公式と等式の証明
指数関数と対数関数 21等式 \(\log_s t \cdot \log_t u \cdot \log_u s=1\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
底の変換公式と等式の証明
Point：底の変換公式と等式の証明
① 左辺を底の変換公式を用いて、底をそろえる。
\(a~,~b~,~c\) は正の数で \(a \neq 1~,~b \neq 1~,~c \neq 1\) のとき、
\(\log_ab=\displaystyle \frac{\,\log_cb\,}{\,\log_ca\,}\)
特に、\(\log_ab=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_ba\,}\)
② 対数の性質を用いて計算し、右辺と等しいことを示す。
底の変換公式を用いた等式の証明は、
① 左辺を底の変換公式を用いて、底をそろえる。
\(a~,~b~,~c\) は正の数で \(a \neq 1~,~b \neq 1~,~c \neq 1\) のとき、
\(\log_ab=\displaystyle \frac{\,\log_cb\,}{\,\log_ca\,}\)
特に、\(\log_ab=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_ba\,}\)
② 対数の性質を用いて計算し、右辺と等しいことを示す。
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詳しい解説｜底の変換公式と等式の証明
指数関数と対数関数 21
等式 \(\log_s t \cdot \log_t u \cdot \log_u s=1\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
[証明] 左辺の底を底の変換公式を用いて \(s\) にすると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\log_s t \cdot \log_t u \cdot \log_u s
\\[5pt]~~~&=&\log_s t \cdot \displaystyle \frac{\,\log_s u\,}{\,\log_s t\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_s s\,}{\,\log_s u\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_s t} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_s u}\,}{\,\cancel{\log_s t}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_s s\,}{\,\cancel{\log_s u}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_s s
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\log_s t \cdot \log_t u \cdot \log_u s=1\) [終]
