底の変換公式と等式の証明

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.178 問4
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.178 問題 8
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.174 章末問題A 6
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.184 問題 18
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.195 Level Up 9(2)

[証明] 左辺の底を底の変換公式を用いて \(a\) にすると、

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　　（左辺）

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a
\\[5pt]~~~&=&\log_a b \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a c\,}{\,\log_a b\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\log_a c\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_a b} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_a c}\,}{\,\cancel{\log_a b}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\cancel{\log_a c}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a a
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a=1\) [終]

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.178 練習16

[証明] 左辺の底を底の変換公式を用いて \(a\) にすると、

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　　（左辺）

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d
\\[5pt]~~~&=&\log_a b \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a c\,}{\,\log_a b\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a d\,}{\,\log_a c\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_a b} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_a c}\,}{\,\cancel{\log_a b}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a d\,}{\,\cancel{\log_a c}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a d\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d=\log_a d\) [終]

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.195 Level Up 9(1)

[証明] 右辺を底の変換公式を用いて底を \(a\) にすると、

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　　（右辺）

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\log_{a^2} b^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_a b^2\,}{\,\log_a a^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\log_a b\,}{\,2\log_a a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\log_a b\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a b\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\log_a b=\log_{a^2} b^2\) [終]