- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「対数の式を文字で表す」の基本例題解説ページです。
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問題｜対数の式を文字で表す
指数関数と対数関数 22☆\(\log_{10}2=a~,~\)\(\log_{10}3=b\) のとき、\(\log_{10}6~,~\)\(\log_{3}10~,~\)\(\log_{10}5~,~\)\(\log_{3}\sqrt{5}~,~\)\(\log_{30}54\) を \(a~,~b\) を用いて表せ。
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
対数の式を文字で表す
Point：対数の式を文字で表す
\(\log_{10}2=a~,~\log_{10}3=b\) のとき、
① 底の変換公式より、底を \(10\) にそろえる。
② 真数を積や商の形にし、対数の和や差に分ける。
\(\log_{10}6=\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)=\log_{10}2+\log_{10}3\)
③ 対数の式を文字で表す。
\(\log_{10}2+\log_{10}3=a+b\)
※ \(\log_{10}5\) は商の形 \(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}\) とする。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}5&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10-\log_{10}2
\\[5pt]~~~&=&1-a\end{eqnarray}\)
対数の式を文字で表す方法は、
\(\log_{10}2=a~,~\log_{10}3=b\) のとき、
① 底の変換公式より、底を \(10\) にそろえる。
② 真数を積や商の形にし、対数の和や差に分ける。
\(\log_{10}6=\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)=\log_{10}2+\log_{10}3\)
③ 対数の式を文字で表す。
\(\log_{10}2+\log_{10}3=a+b\)
※ \(\log_{10}5\) は商の形 \(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}\) とする。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}5&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10-\log_{10}2
\\[5pt]~~~&=&1-a\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜対数の式を文字で表す
指数関数と対数関数 22☆
\(\log_{10}2=a~,~\)\(\log_{10}3=b\) のとき、\(\log_{10}6~,~\)\(\log_{3}10~,~\)\(\log_{10}5~,~\)\(\log_{3}\sqrt{5}~,~\)\(\log_{30}54\) を \(a~,~b\) を用いて表せ。
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
真数 \(6\) を積の形にし、対数の和にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}6&=&\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}2+\log_{10}3
\\[3pt]~~~&=&a+b\end{eqnarray}\)
底を \(10\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}10&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}10\,}{\,\log_{10}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
真数 \(5\) を \(10\) と \(2\) の商の形にし、対数の差にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}5&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10-\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&1-a\end{eqnarray}\)
底を \(10\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}\sqrt{5}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}\sqrt{5}\,}{\,\log_{10}3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}5^{\large \frac{1}{2}}\,}{\,\log_{10}3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\log_{10}5\,}{\,\log_{10}3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}5\,}{\,2\log_{10}3\,}\end{eqnarray}\)
\(\log_{10}5=1-a~,~\log_{10}3=b\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\log_{3}\sqrt{5}}&=&\displaystyle \frac{\,1-a\,}{\,2b\,}\end{eqnarray}\)
底を \(10\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{30}54&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}54\,}{\,\log_{10}30\,}\end{eqnarray}\)
真数 \(54\) と \(30\) を積の形にして、対数の和にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\log_{30}54}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}(2{\, \small \times \,}3^3)\,}{\,\log_{10}(3{\, \small \times \,}10)\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}2+\log_{10}3^3\,}{\,\log_{10}3+\log_{10}10\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}2+3\log_{10}3\,}{\,\log_{10}3+\log_{10}10\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a+3b\,}{\,b+1\,}\end{eqnarray}\)
