このページは、「対数の式を文字で表す」の練習問題アーカイブページとなります。
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対数の式を文字で表す で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(p=\log_{a}x~,~\)\(q=\log_{a}y~,~\)\(r=\log_{a}z\) であるとき、次の各式を \(p~,~q~,~r\) で表せ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{a}x^2y^3z\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,x^3\,}{\,y^2z\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,x\sqrt{z^3}\,}{\,a^2y\,}\)
\({\small (1)}~\)\(\log_{a}x^2y^3z\)
\({\small (2)}~\)\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,x^3\,}{\,y^2z\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,x\sqrt{z^3}\,}{\,a^2y\,}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.188 問題 10
\({\small (1)}~\)真数を積の形にし、対数の和にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{a}x^2y^3z&=&\log_{a}x^2+\log_{a}y^3+\log_{a}z
\\[3pt]~~~&=&2\log_{a}x+3\log_{a}y+\log_{a}z
\\[3pt]~~~&=&2p+3q+r\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)真数を積と商の形にし、対数の和と差にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{a}\displaystyle \frac{\,x^3\,}{\,y^2z\,}&=&\log_{a}x^3-\log_{a}(y^2{\, \small \times \,}z)
\\[3pt]~~~&=&\log_{a}x^3-(\log_{a}y^2+\log_{a}z)
\\[3pt]~~~&=&3\log_{a}x-2\log_{a}y-\log_{a}z
\\[3pt]~~~&=&3p-2q-r\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)真数を積と商の形にし、対数の和と差にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{a}\displaystyle \frac{\,x\sqrt{z^3}\,}{\,a^2y\,}&=&\log_{a}(x{\, \small \times \,}z^{\large \frac{3}{2}})-\log_{a}(a^2{\, \small \times \,}y)
\\[3pt]~~~&=&\log_{a}x+\log_{a}z^{\large \frac{3}{2}}-(\log_{a}a^2+\log_{a}y)
\\[3pt]~~~&=&\log_{a}x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\log_{a}z-2\log_{a}a-\log_{a}y
\\[3pt]~~~&=&\log_{a}x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\log_{a}z-2-\log_{a}y
\\[3pt]~~~&=&p-q+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}r-2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\log_{a}x+\log_{a}z^{\large \frac{3}{2}}-(\log_{a}a^2+\log_{a}y)
\\[3pt]~~~&=&\log_{a}x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\log_{a}z-2\log_{a}a-\log_{a}y
\\[3pt]~~~&=&\log_{a}x+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\log_{a}z-2-\log_{a}y
\\[3pt]~~~&=&p-q+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}r-2\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(a=\log_{2}3~,~b=\log_{3}7\) とするとき、\(\log_{42}56\) を \(a~,~b\) で表せ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.189 演習問題A 4
底を \(2\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{42}56&=&\displaystyle \frac{\,\log_{2}56\,}{\,\log_{2}42\,}\end{eqnarray}\)
真数 \(56\) と \(42\) を積の形にして、対数の和にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\log_{42}56}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{2}(2^3{\, \small \times \,}7)\,}{\,\log_{2}(2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}7)\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{2}2^3+\log_{2}7\,}{\,\log_{2}2+\log_{2}3+\log_{2}7\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+\log_{2}7\,}{\,1+\log_{2}3+\log_{2}7\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(b=\log_{3}7\) を底 \(2\) に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}7&=&\displaystyle \frac{\,\log_{2}7\,}{\,\log_{2}3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\log_{2}7\,}{\,\log_{2}3\,}&=&\log_{3}7
\\[5pt]~~~\log_{2}7&=&\log_{3}7 \cdot \log_{2}3
\\[5pt]~~~\log_{2}7&=&ab\end{eqnarray}\)
\(\log_{2}3=a~,~\log_{2}7=ab\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\log_{42}56}&=&\displaystyle \frac{\,3+ab\,}{\,1+a+ab\,}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\log_{10}2=a~,~\log_{10}3=b\) とするとき、次の式を \(a~,~b\) で表せ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\) \({\small (2)}~\)\(\log_{10}\sqrt[3]{6}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{2}3\) \({\small (4)}~\)\(\log_{10}15\)
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\) \({\small (2)}~\)\(\log_{10}\sqrt[3]{6}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{2}3\) \({\small (4)}~\)\(\log_{10}15\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.178 問題 7
\({\small (1)}~\)真数を商の形にし、対数の差にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}&=&\log_{10}3-\log_{10}8
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}3-\log_{10}2^3
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}3-3\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&b-3a\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)真数を指数の形にし、対数の和にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}\sqrt[3]{6}&=&\log_{10}6^{\large \frac{1}{3}}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\log_{10}6
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\log_{10}2+\log_{10}3)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)底を \(10\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}3&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}3\,}{\,\log_{10}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)真数 \(15\) を \(3\) と \(5\) の積の形にし、対数の和にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}15&=&\log_{10}(3{\, \small \times \,}5)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}3+\log_{10}5
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}3+\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}3+\log_{10}10-\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&b+1-a\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(\log_{10}2=a~,~\log_{10}3=b\) とするとき、次の式を \(a~,~b\) で表せ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\) \({\small (2)}~\)\(\log_{10}\sqrt[3]{6}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{2}3\) \({\small (4)}~\)\(\log_{10}5\)
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\) \({\small (2)}~\)\(\log_{10}\sqrt[3]{6}\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{2}3\) \({\small (4)}~\)\(\log_{10}5\)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.174 章末問題A 5
\({\small (1)}~\)真数を商の形にし、対数の差にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}&=&\log_{10}3-\log_{10}8
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}3-\log_{10}2^3
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}3-3\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&b-3a\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)真数を指数の形にし、対数の和にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}\sqrt[3]{6}&=&\log_{10}6^{\large \frac{1}{3}}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\log_{10}6
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\log_{10}2+\log_{10}3)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)底を \(10\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}3&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}3\,}{\,\log_{10}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)真数 \(5\) を \(10\) と \(2\) の商の形にし、対数の差にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}5&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10-\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&1-a\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(\log_{10}2=p~,~\log_{10}3=q\) とするとき、次の値を \(p~,~q\) で表せ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}\sqrt[3]{18}\) \({\small (2)}~\)\(\log_{24}5\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{\sqrt{5}}12\)
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}\sqrt[3]{18}\) \({\small (2)}~\)\(\log_{24}5\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{\sqrt{5}}12\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.184 問題 12
\({\small (1)}~\)真数を指数の形にし、積の形にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}\sqrt[3]{18}&=&\log_{10}18^{\large \frac{1}{3}}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\log_{10}18
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\log_{10}(2{\, \small \times \,}3^2)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\log_{10}2+\log_{10}3^2)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\log_{10}2+2\log_{10}3)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p+2q\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)底を \(10\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{24}5&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}5\,}{\,\log_{10}24\,}\end{eqnarray}\)
真数 \(5\) を商の形にし、\(24\) を積の形にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\log_{24}5}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}\,}{\,\log_{10}(2^3{\, \small \times \,}3)\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}10-\log_{10}2\,}{\,\log_{10}2^3+\log_{10}3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-p\,}{\,3p+q\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)底を \(10\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{\sqrt{5}}12&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}12\,}{\,\log_{10}\sqrt{5}\,}\end{eqnarray}\)
真数 \(12\) を積の形にし、底 \(\sqrt{5}\) を指数の形にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\log_{\sqrt{5}}12}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}(2^2{\, \small \times \,}3)\,}{\,\log_{10}5^{\large \frac{1}{2}}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}2^2+\log_{10}3\,}{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\log_{10}5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2\log_{10}2+\log_{10}3)\,}{\,\log_{10}10-\log_{10}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(2p+q)\,}{\,1-p\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4p+2q\,}{\,1-p\,}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(\log_{10}2=p~,~\log_{10}3=q\) とするとき、次の値を \(p~,~q\) で表せ。
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}12\) \({\small (2)}~\)\(\log_{10}5\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{3}20\)
\({\small (1)}~\)\(\log_{10}12\) \({\small (2)}~\)\(\log_{10}5\)
\({\small (3)}~\)\(\log_{3}20\)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.194 Level Up 7
\({\small (1)}~\)真数 \(12\) を積の形にし、対数の和にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}12&=&\log_{10}(2^2{\, \small \times \,}3)
\\[3pt]~~~&=&\log_{10}2^2+\log_{10}3
\\[3pt]~~~&=&2\log_{10}2+\log_{10}3
\\[3pt]~~~&=&2p+q\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)真数 \(5\) を \(10\) と \(2\) の商の形にし、対数の差にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}5&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10-\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&1-p\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)底を \(10\) にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}20&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}20\,}{\,\log_{10}3\,}\end{eqnarray}\)
真数 \(20\) を積の形にし、対数の和にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\log_{3}20}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}(2^2{\, \small \times \,}5)\,}{\,\log_{10}3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}2^2+\log_{10}5\,}{\,\log_{10}3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\log_{10}2+\log_{10}5\,}{\,\log_{10}3\,}\end{eqnarray}\)
\(\log_{10}5=1-p\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\log_{3}20}&=&\displaystyle \frac{\,2p+1-p\,}{\,q\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p+1\,}{\,q\,}\end{eqnarray}\)
