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問題｜指数に対数を含む式の値
指数関数と対数関数 23☆\(2^{\log_27}~,~\)\(9^{-\log_35}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
指数に対数を含む式の値
Point：指数に対数を含む式の値
① この式の値を \(M\) とおき、両辺の同じ底の対数をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~2^{\log_27}&=&M
\\[3pt]~~~\log_22^{\log_27}&=&\log_2M\end{eqnarray}\)
② 対数の性質より、\(M\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_27&=&\log_2M
\\[3pt]~~~~M&=&7\end{eqnarray}\)
指数に対数を含む式 \(2^{\log_27}\) の値は、
① この式の値を \(M\) とおき、両辺の同じ底の対数をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~2^{\log_27}&=&M
\\[3pt]~~~\log_22^{\log_27}&=&\log_2M\end{eqnarray}\)
② 対数の性質より、\(M\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_27&=&\log_2M
\\[3pt]~~~~M&=&7\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜指数に対数を含む式の値
指数関数と対数関数 23☆
\(2^{\log_27}~,~\)\(9^{-\log_35}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(2^{\log_27}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(2\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_22^{\log_27}&=&\log_2M
\\[3pt]~~~\log_27 \cdot \log_22&=&\log_2M
\\[3pt]~~~\log_27&=&\log_2M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=7\) より、
\(2^{\log_27}=7\) となる
\(9^{-\log_35}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(3\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_39^{-\log_35}&=&\log_3M
\\[3pt]~~~-\log_35 \cdot \log_39&=&\log_3M
\\[3pt]~~~-\log_33^2 \cdot \log_35&=&\log_3M
\\[3pt]~~~-2\log_35&=&\log_3M
\\[3pt]~~~\log_35^{-2}&=&\log_3M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=5^{-2}\) より、
\(9^{-\log_35}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}\) となる
