このページは、「指数に対数を含む式の値」の練習問題アーカイブページとなります。
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指数に対数を含む式の値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の式の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(10^{\log_{10}3}\) \({\small (2)}~\)\(10^{\log_{100}2}\)
\({\small (3)}~\)\(10^{\log_{0.1}2}\) \({\small (4)}~\)\(100^{-\log_{10}2}\)
\({\small (1)}~\)\(10^{\log_{10}3}\) \({\small (2)}~\)\(10^{\log_{100}2}\)
\({\small (3)}~\)\(10^{\log_{0.1}2}\) \({\small (4)}~\)\(100^{-\log_{10}2}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.189 演習問題B 8
\({\small (1)}~\)\(10^{\log_{10}3}\)
\(10^{\log_{10}3}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(10\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}10^{\log_{10}3}&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{10}3 \cdot \log_{10}10&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{10}3&=&\log_{10}M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=3\) より、
\(10^{\log_{10}3}=3\) となる
\({\small (2)}~\)\(10^{\log_{100}2}\)
\(10^{\log_{100}2}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(10\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}10^{\log_{100}2}&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{100}2 \cdot \log_{10}10&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{100}2&=&\log_{10}M\end{eqnarray}\)
ここで、底の変換公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{100}2&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}2\,}{\,\log_{10}100\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\log_{10}2\,}{\,2\,}&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{10}2^{\large \frac{1}{2}}&=&\log_{10}M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=2^{\large \frac{1}{2}}\) より、
\(10^{\log_{100}2}=\sqrt{\,2\,}\) となる
\({\small (3)}~\)\(10^{\log_{0.1}2}\)
\(10^{\log_{0.1}2}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(10\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}10^{\log_{0.1}2}&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{0.1}2 \cdot \log_{10}10&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{0.1}2&=&\log_{10}M\end{eqnarray}\)
ここで、底の変換公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{0.1}2&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}2\,}{\,\log_{10}0.1\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10}2\,}{\,-1\,}
\\[3pt]~~~&=&-\log_{10}2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~-\log_{10}2&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{10}2^{-1}&=&\log_{10}M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=2^{-1}\) より、
\(10^{\log_{0.1}2}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (4)}~\)\(100^{-\log_{10}2}\)
\(100^{-\log_{10}2}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(10\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}100^{-\log_{10}2}&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~-\log_{10}2 \cdot \log_{10}100&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~-\log_{10}2 \cdot \log_{10}10^2&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~-2\log_{10}2&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{10}2^{-2}&=&\log_{10}M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=2^{-2}\) より、
\(100^{-\log_{10}2}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の式を簡単にせよ。
\({\small (1)}~\)\(2^{\log_23}\) \({\small (2)}~\)\(100^{\log_{10}\sqrt{\,2\,}}\)
\({\small (1)}~\)\(2^{\log_23}\) \({\small (2)}~\)\(100^{\log_{10}\sqrt{\,2\,}}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.180 章末問題B 11
\({\small (1)}~\)\(2^{\log_23}\)
\(2^{\log_23}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(2\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_22^{\log_23}&=&\log_2M
\\[3pt]~~~\log_23 \cdot \log_22&=&\log_2M
\\[3pt]~~~\log_23&=&\log_2M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=3\) より、
\(2^{\log_23}=3\) となる
\({\small (2)}~\)\(100^{\log_{10}\sqrt{\,2\,}}\)
\(100^{\log_{10}\sqrt{\,2\,}}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(10\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}100^{\log_{10}\sqrt{\,2\,}}&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{10}\sqrt{\,2\,} \cdot \log_{10}100&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{10}\sqrt{\,2\,} \cdot \log_{10}10^2&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~2\log_{10}\sqrt{\,2\,}&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{10}(\sqrt{\,2\,})^2&=&\log_{10}M
\\[3pt]~~~\log_{10}2&=&\log_{10}M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=2\) より、
\(100^{\log_{10}\sqrt{\,2\,}}=2\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の式の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(2^{\log_26}\) \({\small (2)}~\)\(9^{\log_34}\)
\({\small (1)}~\)\(2^{\log_26}\) \({\small (2)}~\)\(9^{\log_34}\)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.175 章末問題B 12
\({\small (1)}~\)\(2^{\log_26}\)
\(2^{\log_26}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(2\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_22^{\log_26}&=&\log_2M
\\[3pt]~~~\log_26 \cdot \log_22&=&\log_2M
\\[3pt]~~~\log_26&=&\log_2M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=6\) より、
\(2^{\log_26}=6\) となる
\({\small (2)}~\)\(9^{\log_34}\)
\(9^{\log_34}=M\) とおくと、
\(M \gt 0\) より、両辺の \(3\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_39^{\log_34}&=&\log_3M
\\[3pt]~~~\log_34 \cdot \log_39&=&\log_3M
\\[3pt]~~~\log_34 \cdot \log_33^2&=&\log_3M
\\[3pt]~~~2\log_34&=&\log_3M
\\[3pt]~~~\log_34^2&=&\log_3M
\\[3pt]~~~\log_316&=&\log_3M\end{eqnarray}\)
よって、\(M=16\) より、
\(9^{\log_34}=16\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(a^{\log_aM}=M\) が成り立つことを確かめよ。また、これを利用して次の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(2^{3\log_23}\) \({\small (2)}~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\right)^{\log_{10}4}\) \({\small (3)}~\)\(4^{-\log_23}\)
\({\small (1)}~\)\(2^{3\log_23}\) \({\small (2)}~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\right)^{\log_{10}4}\) \({\small (3)}~\)\(4^{-\log_23}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.187 練習問題B 10
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.195 Level Up 8
\(a^{\log_aM}=M\) の証明
\(a^{\log_aM}=N\) とおくと、
\(N \gt 0\) より、両辺の \(a\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_aa^{\log_aM}&=&\log_aN
\\[3pt]~~~\log_aM \cdot \log_aa&=&\log_aN
\\[3pt]~~~\log_aM&=&\log_aN\end{eqnarray}\)
よって、\(N=M\) より、
\(a^{\log_aM}=M\) が成り立つ
\({\small (1)}~\)\(2^{3\log_23}\)
指数法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^{3\log_23}
\\[3pt]~~~&=&2^{(\log_23){\, \small \times \,}3}
\\[3pt]~~~&=&(2^{\log_23})^3\end{eqnarray}\)
\(a^{\log_aM}=M\) より、\(2^{\log_23}=3\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3^3
\\[3pt]~~~&=&27\end{eqnarray}\)
\(2^{3\log_23}=27\) となる
\({\small (2)}~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\right)^{\log_{10}4}\)
底を \(10\) の累乗に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\right)^{\log_{10}4}
\\[5pt]~~~&=&(10^{-2})^{\log_{10}4}
\\[3pt]~~~&=&10^{-2\log_{10}4}
\\[3pt]~~~&=&10^{(\log_{10}4){\, \small \times \,}(-2)}
\\[3pt]~~~&=&(10^{\log_{10}4})^{-2}\end{eqnarray}\)
\(a^{\log_aM}=M\) より、\(10^{\log_{10}4}=4\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&4^{-2}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\right)^{\log_{10}4}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\) となる
\({\small (3)}~\)\(4^{-\log_23}\)
底を \(2\) の累乗に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&4^{-\log_23}
\\[3pt]~~~&=&(2^2)^{-\log_23}
\\[3pt]~~~&=&2^{-2\log_23}
\\[3pt]~~~&=&2^{(\log_23){\, \small \times \,}(-2)}
\\[3pt]~~~&=&(2^{\log_23})^{-2}\end{eqnarray}\)
\(a^{\log_aM}=M\) より、\(2^{\log_23}=3\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3^{-2}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(4^{-\log_23}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\) となる
