- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「aˣ=bʸ=cᶻが条件の等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜aˣ=bʸ=cᶻが条件の等式の証明
指数関数と対数関数 24☆\(2^x=3^y=6^z~,~\)\(xyz \neq 0\) のとき、等式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
aˣ=bʸ=cᶻが条件の等式の証明
Point：aˣ=bʸ=cᶻが条件の等式の証明
① 条件式に底が \(a\) とする対数をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_a a^x&=&\log_a b^y~=~\log_a c^z
\\[3pt]~\Leftrightarrow~\hspace{20pt}x&=&y\log_a b~=~z\log_a c\end{eqnarray}\)
② この式より、\(y\) と \(z\) を \(x\) の式で表し、等式を証明する。
\(a^x=b^y=c^z\) が条件の場合の証明は、
① 条件式に底が \(a\) とする対数をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_a a^x&=&\log_a b^y~=~\log_a c^z
\\[3pt]~\Leftrightarrow~\hspace{20pt}x&=&y\log_a b~=~z\log_a c\end{eqnarray}\)
② この式より、\(y\) と \(z\) を \(x\) の式で表し、等式を証明する。
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詳しい解説｜aˣ=bʸ=cᶻが条件の等式の証明
指数関数と対数関数 24☆
\(2^x=3^y=6^z~,~\)\(xyz \neq 0\) のとき、等式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
[証明] \(2^x=3^y=6^z\) の各辺は正より、
各辺の \(2\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 2^x&=&\log_2 3^y~=~\log_2 6^z
\\[5pt]~~~x&=&y\log_2 3~=~z\log_2 6\end{eqnarray}\)
\(x=y\log_2 3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 3\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
また、\(x=z\log_2 6\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 6\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
これより、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,\log_2 3\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 3\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 6\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 (2 {\, \small \times \,} 3)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 2+\log_2 3\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 3\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) [終]
【別解】常用対数を用いた解法
[証明] \(2^x=3^y=6^z\) の各辺は正より、
各辺の常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10} 2^x&=&\log_{10} 3^y~=~\log_{10} 6^z
\\[5pt]~~~x\log_{10} 2&=&y\log_{10} 3~=~z\log_{10} 6\end{eqnarray}\)
\(x\log_{10} 2=y\log_{10} 3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x\log_{10} 2\,}{\,\log_{10} 3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 3\,}{\,x\log_{10} 2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(x\log_{10} 2=z\log_{10} 6\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,x\log_{10} 2\,}{\,\log_{10} 6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 6\,}{\,x\log_{10} 2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,\log_{10} 3\,}{\,x\log_{10} 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 2\,}{\,x\log_{10} 2\,}+\displaystyle \frac{\,\log_{10} 3\,}{\,x\log_{10} 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 2+\log_{10} 3\,}{\,x\log_{10} 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} (2 {\, \small \times \,} 3)\,}{\,x\log_{10} 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 6\,}{\,x\log_{10} 2\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 6\,}{\,x\log_{10} 2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) [終]
