このページは、「aˣ=bʸ=cᶻが条件の等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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aˣ=bʸ=cᶻが条件の等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(0\) でない実数 \(x~,~\)\(y~,~\)\(z\) が \(2^x=5^y=10^z\) を満たすとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.180 章末問題B 13
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.187 練習問題B 14
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.195 Level Up 13
[証明] \(2^x=5^y=10^z\) の各辺は正より、
各辺の \(2\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 2^x&=&\log_2 5^y~=~\log_2 10^z
\\[5pt]~~~x&=&y\log_2 5~=~z\log_2 10\end{eqnarray}\)
\(x=y\log_2 5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 5\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
また、\(x=z\log_2 10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 10\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
これより、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 (2 {\, \small \times \,} 5)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 2+\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) [終]
【別解】常用対数を用いた解法
[証明] \(2^x=5^y=10^z\) の各辺は正より、
各辺の常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10} 2^x&=&\log_{10} 5^y~=~\log_{10} 10^z
\\[5pt]~~~x\log_{10} 2&=&y\log_{10} 5~=~z\end{eqnarray}\)
\(x\log_{10} 2=z\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,z\,}{\,\log_{10} 2\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 2\,}{\,z\,}\end{eqnarray}\)
また、\(y\log_{10} 5=z\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,z\,}{\,\log_{10} 5\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 5\,}{\,z\,}\end{eqnarray}\)
これより、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 2\,}{\,z\,}+\displaystyle \frac{\,\log_{10} 5\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 2+\log_{10} 5\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} (2 {\, \small \times \,} 5)\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{10} 10\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) [終]
