- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「対数関数の大小比較」の基本例題解説ページです。
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問題｜対数関数の大小比較
指数関数と対数関数 27\(1~,~\)\(\log_{2}3~,~\)\(\log_{4}25\) や \(\log_{\frac{1}{2}}3~,~\)\(\log_{\frac{1}{2}}5~,~\)\(\log_{\frac{1}{2}}7\) の大小比較の方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
対数関数の大小比較
Point：対数関数の大小比較
① それぞれの値を同じ底の対数で表す。
\(k=\log_{a}a^{k}\) と底の変換公式より、
\(\log_{a}M~,~\log_{a}N\) とする。
② 真数部分の大小比較をする。
\(M \lt N\)
③ 底の値に注意し、対数関数の大小比較をする。
\(\small [\,1\,]\) 底が \(1\) より大きいとき、
大小関係はそのまま \(\log_{a}M \lt \log_{a}N\)
\(\small [\,2\,]\) 底が \(1\) より小さいとき、
大小関係は逆になる \(\log_{a}M \gt \log_{a}N\)
対数関数の大小比較は、
① それぞれの値を同じ底の対数で表す。
\(k=\log_{a}a^{k}\) と底の変換公式より、
\(\log_{a}M~,~\log_{a}N\) とする。
② 真数部分の大小比較をする。
\(M \lt N\)
③ 底の値に注意し、対数関数の大小比較をする。
\(\small [\,1\,]\) 底が \(1\) より大きいとき、
大小関係はそのまま \(\log_{a}M \lt \log_{a}N\)
\(\small [\,2\,]\) 底が \(1\) より小さいとき、
大小関係は逆になる \(\log_{a}M \gt \log_{a}N\)
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詳しい解説｜対数関数の大小比較
指数関数と対数関数 27
\(1~,~\)\(\log_{2}3~,~\)\(\log_{4}25\) や \(\log_{\frac{1}{2}}3~,~\)\(\log_{\frac{1}{2}}5~,~\)\(\log_{\frac{1}{2}}7\) の大小比較の方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
それぞれの値について、対数の底を \(2\) にそろえると
\(1=\log_{2}2\)
底の変換公式より
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{4}25&=&\displaystyle \frac{\,\log_{2}25\,}{\,\log_{2}4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_{2}5^2\,}{\,\log_{2}2^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\log_{2}5\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{2}5\end{eqnarray}\)
よって、\(\log_{2}2~,~\log_{2}3~,~\log_{2}5\) の真数を比較すると、
\(2 \lt 3 \lt 5\)
底が \(1\) より大きいので、対数の大小関係はそのままで、
\(\log_{2}2 \lt \log_{2}3 \lt \log_{2}5\)
したがって、
\(1 \lt \log_{2}3 \lt \log_{4}25\) となる
\(\log_{\frac{1}{2}}3~,~\log_{\frac{1}{2}}5~,~\log_{\frac{1}{2}}7\) の真数を比較すると
\(3 \lt 5 \lt 7\)
底は \(1\) より小さいので、対数の大小関係は逆になるので、
\(\log_{\frac{1}{2}}7 \lt \log_{\frac{1}{2}}5 \lt \log_{\frac{1}{2}}3\)
