- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「logₛtとlogₜsの大小比較」の基本例題解説ページです。
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問題｜logₛtとlogₜsの大小比較
指数関数と対数関数 28☆\(1 \lt s \lt t\) のとき、\(\log_{s}t\) と \((\log_{s}t)^2\) の大小比較の方法は？また、\(\log_{s}t\) と \(\log_{t}s\) の大小比較の方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
logₛtとlogₜsの大小比較
Point：logₛtとlogₜsの大小比較
① 条件の不等式より、各辺に同じ底の対数をとる。
\(1 \lt s \lt t\) より、
\(\log_{s}1 \lt \log_{s}s \lt \log_{s}t\)
よって、\(0 \lt 1 \lt \log_{s}t\)
② 大小比較をするために、不等式を式変形する。
\(\log_{s}t \gt 1\) より、
\((\log_{s}t)^2 \gt \log_{s}t\)
\(\log_{s}t\) と \((\log_{s}t)^2\) や \(\log_{s}t\) と \(\log_{t}s\) の大小比較は、
① 条件の不等式より、各辺に同じ底の対数をとる。
\(1 \lt s \lt t\) より、
\(\log_{s}1 \lt \log_{s}s \lt \log_{s}t\)
よって、\(0 \lt 1 \lt \log_{s}t\)
② 大小比較をするために、不等式を式変形する。
\(\log_{s}t \gt 1\) より、
\((\log_{s}t)^2 \gt \log_{s}t\)
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詳しい解説｜logₛtとlogₜsの大小比較
指数関数と対数関数 28☆
\(1 \lt s \lt t\) のとき、\(\log_{s}t\) と \((\log_{s}t)^2\) の大小比較の方法は？また、\(\log_{s}t\) と \(\log_{t}s\) の大小比較の方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(1 \lt s \lt t\) より、
各辺に底 \(s\) の対数をとると、
底 \(s \gt 1\) より、大小関係はそのままであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{s}1 &\lt& \log_{s}s \lt \log_{s}t
\\[3pt]~~~0 &\lt& 1 \lt \log_{s}t~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\log_{s}t \gt 1\) より、
両辺に \(\log_{s}t\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{s}t \cdot \log_{s}t \gt 1 \cdot \log_{s}t\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\log_{s}t)^2 \gt \log_{s}t\)
\(1 \lt s \lt t\) より、
各辺に底 \(t\) の対数をとると、
底 \(t \gt 1\) より、大小関係はそのままであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{t}1 &\lt& \log_{t}s \lt \log_{t}t
\\[3pt]~~~0 &\lt& \log_{t}s \lt 1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(\log_{s}t \gt 1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{t}s \lt 1 \lt \log_{s}t\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\log_{t}s \lt \log_{s}t\)
