このページは、「logₛtとlogₜsの大小比較」の練習問題アーカイブページとなります。
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logₛtとlogₜsの大小比較 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(1 \lt a \lt b\) のとき、\(\log_{a}b\) と \(\log_{b}a\) の大小を比較せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.184 問題 16
\(1 \lt a \lt b\) より、
各辺に底 \(a\) の対数をとると、
底 \(a \gt 1\) より、大小関係はそのままであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{a}1 &\lt& \log_{a}a \lt \log_{a}b
\\[3pt]~~~0 &\lt& 1 \lt \log_{a}b~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
各辺に底 \(b\) の対数をとると、
底 \(b \gt 1\) より、大小関係はそのままであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{b}1 &\lt& \log_{b}a \lt \log_{b}b
\\[3pt]~~~0 &\lt& \log_{b}a \lt 1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(\log_{a}b \gt 1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{b}a \lt 1 \lt \log_{a}b\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\log_{b}a \lt \log_{a}b\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ023つの数 \(\log_{2}3~,~\log_{3}5~,~\log_{4}8\) を小さいほうから順に並べよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.186 練習問題A 4
\(\log_{4}8\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{4}8&=&\displaystyle \frac{\,\log_{2}8\,}{\,\log_{2}4\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\log_{2}3\) と \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}=\log_{2}2^{\large \frac{3}{2}}=\log_{2}\sqrt{\,2^3\,}=\log_{2}\sqrt{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\(3=\sqrt{\,9\,} \gt \sqrt{\,8\,}\) より、
底 \(2 \gt 1\) より、大小関係はそのままであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{2}3 \gt \log_{2}\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&&\log_{2}3 \gt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\log_{3}5\) と \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}=\log_{3}3^{\large \frac{3}{2}}=\log_{3}\sqrt{\,3^3\,}=\log_{3}\sqrt{\,27\,}\end{eqnarray}\)
\(5=\sqrt{\,25\,} \lt \sqrt{\,27\,}\) より、
底 \(3 \gt 1\) より、大小関係はそのままであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\log_{3}5 \lt \log_{3}\sqrt{\,27\,}
\\[3pt]~~~&&\log_{3}5 \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\log_{3}5 \lt \log_{4}8 \lt \log_{2}3\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(2^7~,~2^8~,~3^5\) の大きさを比較して、次の不等式を証明せよ。
\(1.4 \lt \log_{2}3 \lt 1.6\)
\(1.4 \lt \log_{2}3 \lt 1.6\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.186 練習問題A 7
[証明] それぞれの値を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2^7&=&128
\\[3pt]~~~3^5&=&243
\\[3pt]~~~2^8&=&256\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2^7 \lt 3^5 \lt 2^8\end{eqnarray}\)
各辺に底 \(2\) の対数をとると、
底 \(2 \gt 1\) より、大小関係はそのままであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}2^7 &\lt& \log_{2}3^5 \lt \log_{2}2^8
\\[3pt]~~~7 &\lt& 5\log_{2}3 \lt 8\end{eqnarray}\)
各辺を \(5\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,5\,} \lt \log_{2}3 \lt \displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(1.4 \lt \log_{2}3 \lt 1.6\) [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(1 \lt a \lt b \lt a^2\) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(\log_{a}b \lt (\log_{a}b)^2 \lt \log_{a}b^2\)
\(\log_{a}b \lt (\log_{a}b)^2 \lt \log_{a}b^2\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.187 練習問題B 15
[証明] \(1 \lt a \lt b \lt a^2\) より、
各辺に底 \(a\) の対数をとると、
底 \(a \gt 1\) より、大小関係はそのままであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{a}1 &\lt& \log_{a}a \lt \log_{a}b \lt \log_{a}a^2
\\[3pt]~~~0 &\lt& 1 \lt \log_{a}b \lt 2\end{eqnarray}\)
\(\log_{a}b \gt 0\) であるので、\(1 \lt \log_{a}b \lt 2\) の各辺に \(\log_{a}b\) を掛けると、
大小関係はそのままであるので、
\(\begin{eqnarray}~~~1 \cdot \log_{a}b &\lt& \log_{a}b \cdot \log_{a}b \lt 2 \cdot \log_{a}b
\\[3pt]~~~\log_{a}b &\lt& (\log_{a}b)^2 \lt 2\log_{a}b\end{eqnarray}\)
ここで、\(2\log_{a}b=\log_{a}b^2\) である
したがって、
\(\log_{a}b \lt (\log_{a}b)^2 \lt \log_{a}b^2\) [終]
