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問題｜対数関数を含む方程式
指数関数と対数関数 29方程式 \(\log_{3}x=2~,~\)\(\log_{2}(x-1)=3\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
対数関数を含む方程式
Point：対数関数を含む方程式
① 真数条件より、\(x\) の値の範囲を求める。
真数条件より、\(x \gt 0\)
② 対数の定義を用いて、方程式の解を求める。
真数 \(M\) が累乗の値 \(M\) に対応
底 \(a\) が累乗の底 \(a\) に対応
対数の値 \(p\) が、指数 \(p\) に対応
\(\log_{3}x=2\) \(~\Leftrightarrow ~\) \(x=3^2\)
よって、\(x=9\)
③ 求めた解が真数条件を満たすか確認する。
① 真数条件より、\(x\) の値の範囲を求める。
真数条件より、\(x \gt 0\)
② 両辺を同じ底の対数で表し、真数を比較する。
\(k=\log_{a}a^k\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}x&=&2
\\[3pt]~~~\log_{3}x&=&\log_{3}3^2
\end{eqnarray}\)
真数を比較して、\(x=9\)
③ 求めた解が真数条件を満たすか確認する。
対数関数を含む方程式 \(\log_{3}x=2\) は、
① 真数条件より、\(x\) の値の範囲を求める。
真数条件より、\(x \gt 0\)
② 対数の定義を用いて、方程式の解を求める。
真数 \(M\) が累乗の値 \(M\) に対応
底 \(a\) が累乗の底 \(a\) に対応
対数の値 \(p\) が、指数 \(p\) に対応
\(\log_{3}x=2\) \(~\Leftrightarrow ~\) \(x=3^2\)
よって、\(x=9\)
③ 求めた解が真数条件を満たすか確認する。
■ 同じ底の対数で比較する解法
① 真数条件より、\(x\) の値の範囲を求める。
真数条件より、\(x \gt 0\)
② 両辺を同じ底の対数で表し、真数を比較する。
\(k=\log_{a}a^k\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}x&=&2
\\[3pt]~~~\log_{3}x&=&\log_{3}3^2
\end{eqnarray}\)
真数を比較して、\(x=9\)
③ 求めた解が真数条件を満たすか確認する。
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詳しい解説｜対数関数を含む方程式
指数関数と対数関数 29
方程式 \(\log_{3}x=2~,~\)\(\log_{2}(x-1)=3\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(\log_{3}x=2\) について、
真数条件より、 \(x \gt 0\)
対数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&3^2
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
これは、\(x \gt 0\) を満たす
したがって、\(x=9\)
【別解】 \(\log_{3}x=2\) について、
真数条件より、 \(x \gt 0\)
両辺を底が \(3\) の対数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}x&=&2
\\[3pt]~~~\log_{3}x&=&\log_{3}3^2\end{eqnarray}\)
真数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&3^2
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
これは、\(x \gt 0\) を満たす
したがって、\(x=9\)
\(\log_{2}(x-1)=3\) について、
真数条件より、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1& \gt &0
\\[3pt]~~~x& \gt &1\end{eqnarray}\)
対数の定義より、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&=&2^3
\\[3pt]~~~x&=&8+1
\\[3pt]~~~x&=&9\end{eqnarray}\)
これは、\(x \gt 1\) を満たす
したがって、\(x=9\)
【別解】 \(\log_{2}(x-1)=3\) について、
真数条件より、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1& \gt &0
\\[3pt]~~~x& \gt &1\end{eqnarray}\)
両辺を底が \(2\) の対数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}(x-1)&=&3
\\[3pt]~~~\log_{2}(x-1)&=&\log_{2}2^3\end{eqnarray}\)
真数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&=&2^3
\\[3pt]~~~x&=&8+1
\\[3pt]~~~x&=&9\end{eqnarray}\)
これは、\(x \gt 1\) を満たす
したがって、\(x=9\)
