- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「対数関数を含む不等式」の基本例題解説ページです。
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問題｜対数関数を含む不等式
指数関数と対数関数 30不等式 \(\log_{3}x{\small ~≦~}2~,~\)\(\log_{\frac{1}{2}}x \gt -1\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
対数関数を含む不等式
Point：対数関数を含む不等式
① 真数条件より、\(x\) の値の範囲を出す。
真数条件より、\(x \gt 0\)
② 両辺を同じ底の対数で表し、真数を比較する。
\(k=\log_{a}a^k\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}x&{\small ~≦~}&\log_{3}3^2
\\[3pt]~~~&\Leftrightarrow&x{\small ~≦~}9\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 底が \(1\) より大きいとき、
真数の大小関係はそのまま。
\({\small [\,2\,]}\) 底が \(1\) より小さいとき、
真数の大小関係は逆になる。
③ 真数条件と②の値の範囲との共通範囲が不等式の解となる。
対数関数を含む不等式 \(\log_{3}x{\small ~≦~}2\) は、
① 真数条件より、\(x\) の値の範囲を出す。
真数条件より、\(x \gt 0\)
② 両辺を同じ底の対数で表し、真数を比較する。
\(k=\log_{a}a^k\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}x&{\small ~≦~}&\log_{3}3^2
\\[3pt]~~~&\Leftrightarrow&x{\small ~≦~}9\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 底が \(1\) より大きいとき、
真数の大小関係はそのまま。
\({\small [\,2\,]}\) 底が \(1\) より小さいとき、
真数の大小関係は逆になる。
③ 真数条件と②の値の範囲との共通範囲が不等式の解となる。
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詳しい解説｜対数関数を含む不等式
指数関数と対数関数 30
不等式 \(\log_{3}x{\small ~≦~}2~,~\)\(\log_{\frac{1}{2}}x \gt -1\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(\log_{3}x{\small ~≦~}2\) について、
真数条件より、
\(x \gt 0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
両辺を底が \(3\) の対数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{3}x&{\small ~≦~}&2
\\[3pt]~~~\log_{3}x&{\small ~≦~}&\log_{3}3^2
\\[3pt]~~~\log_{3}x&{\small ~≦~}&\log_{3}9\end{eqnarray}\)
底が \(3\) で \(1\) より大きいので、真数の大小関係はそのままになるので、
\(x{\small ~≦~}9~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(0 \lt x{\small ~≦~}9\)
\(\log_{\frac{1}{2}}x \gt -1\) について、
真数条件より、
\(x \gt 0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
両辺を底が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の対数で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{\frac{1}{2}}x&\gt&-1
\\[3pt]~~~\log_{\frac{1}{2}}x&\gt&\log_{\frac{1}{2}}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{-1}
\\[3pt]~~~\log_{\frac{1}{2}}x&\gt&\log_{\frac{1}{2}}2\end{eqnarray}\)
底が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で \(1\) より小さいので、真数の大小関係は逆になるので、
\(x \lt 2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(0 \lt x \lt 2\)
