- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「2つの対数関数を含む方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの対数関数を含む方程式
指数関数と対数関数 31方程式 \(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=1\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
2つの対数関数を含む方程式
Point：2つの対数関数を含む方程式
\(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=1\)
① それぞれの真数条件の共通範囲を求める。
\(x \gt 0\) かつ \(x-1 \gt 0\) より、\(x \gt 1\)
② 対数の性質を用いて、両辺を同じ底の対数で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}x+\log_{2}(x-1)&=&1\\[3pt]~~~\log_{2}x(x-1)&=&\log_{2}2\end{eqnarray}\)
③ 真数どうしを比較して方程式を解き、真数条件を満たすか確認する。
\(x(x-1)=2\) から \(x=-1~,~2\)
真数条件 \(x \gt 1\) より、\(x=2\)
2つの対数関数を含む方程式は、
\(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=1\)
① それぞれの真数条件の共通範囲を求める。
\(x \gt 0\) かつ \(x-1 \gt 0\) より、\(x \gt 1\)
② 対数の性質を用いて、両辺を同じ底の対数で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}x+\log_{2}(x-1)&=&1\\[3pt]~~~\log_{2}x(x-1)&=&\log_{2}2\end{eqnarray}\)
③ 真数どうしを比較して方程式を解き、真数条件を満たすか確認する。
\(x(x-1)=2\) から \(x=-1~,~2\)
真数条件 \(x \gt 1\) より、\(x=2\)
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詳しい解説｜2つの対数関数を含む方程式
指数関数と対数関数 31
方程式 \(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=1\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
それぞれの真数条件より、
\(x \gt 0\) かつ \(x-1 \gt 0\)
\(x-1 \gt 0~\Leftrightarrow ~ x \gt 1\)
よって、\(x \gt 1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
両辺を底 \(2\) の対数で表すと、
※ 左辺は対数の和なので真数の積、右辺は \(1=\log_{2}2\) 。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}x+\log_{2}(x-1)&=&1
\\[3pt]~~~\log_{2}x(x-1)&=&\log_{2}2\end{eqnarray}\)
真数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)&=&2
\\[3pt]~~~x^2-x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-2)&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x=-1~,~2\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(x \gt 1\) であるので \(x=-1\) は不適
したがって、\(x=2\) となる
