- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「2つの対数関数を含む不等式」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの対数関数を含む不等式
指数関数と対数関数 32不等式 \(2\log_{2}x \lt \log_{2}(x+6)\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
2つの対数関数を含む不等式
Point：2つの対数関数を含む不等式
\(2\log_{2}x \lt \log_{2}(x+6)\)
① それぞれの真数条件の共通範囲を求める。
\(x \gt 0\) かつ \(x+6 \gt 0\) より、\(x \gt 0\)
② 対数の性質を用いて、両辺を同じ底の対数で表す。
\(\log_{2}x^2 \lt \log_{2}(x+6)\)
③ 真数だけの不等式に、解を求める。
\(\small [\,1\,]\) 底が \(1\) より大きいとき、
真数の大小関係はそのまま。
\(\small [\,2\,]\) 底が \(1\) より小さいとき、
真数の大小関係は逆となる。
底が \(2\gt 1\) であるので、
\(x^2 \lt x+6\) より、\(-2 \lt x \lt 3\)
④ 真数条件と③の共通範囲が不等式の解となる。
2つの対数関数を含む不等式は、
\(2\log_{2}x \lt \log_{2}(x+6)\)
① それぞれの真数条件の共通範囲を求める。
\(x \gt 0\) かつ \(x+6 \gt 0\) より、\(x \gt 0\)
② 対数の性質を用いて、両辺を同じ底の対数で表す。
\(\log_{2}x^2 \lt \log_{2}(x+6)\)
③ 真数だけの不等式に、解を求める。
\(\small [\,1\,]\) 底が \(1\) より大きいとき、
真数の大小関係はそのまま。
\(\small [\,2\,]\) 底が \(1\) より小さいとき、
真数の大小関係は逆となる。
底が \(2\gt 1\) であるので、
\(x^2 \lt x+6\) より、\(-2 \lt x \lt 3\)
④ 真数条件と③の共通範囲が不等式の解となる。
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詳しい解説｜2つの対数関数を含む不等式
指数関数と対数関数 32
不等式 \(2\log_{2}x \lt \log_{2}(x+6)\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
それぞれの真数条件より、
\(x \gt 0\) かつ \(x+6 \gt 0\)
\(x+6 \gt 0~\Leftrightarrow ~ x \gt -6\)
よって、\(x \gt 0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
不等式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2\log_{2}x &\lt& \log_{2}(x+6)
\\[3pt]~~~\log_{2}x^2 &\lt& \log_{2}(x+6)\end{eqnarray}\)
底 \(2\) が \(1\) より大きいので、真数の大小関係はそのまま
\(\begin{eqnarray}~~~x^2 &\lt& x+6
\\[3pt]~~~x^2-x-6 &\lt& 0
\\[3pt]~~~(x-3)(x+2) &\lt& 0\end{eqnarray}\)
\(0\) より小さい範囲は、
\(-2 \lt x \lt 3\)
よって、この不等式の解は、
\(-2 \lt x \lt 3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の共通の範囲より、
\(0 \lt x \lt 3\)
