対数関数を含む2次方程式

\((\log_2 x)^2-\log_2 4x=0\) について、

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それぞれの真数条件より、

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　\(x \gt 0\) かつ \(4x \gt 0\)

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よって、\(x \gt 0\cdots {\small [\,1\,]}\)

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方程式を式変形すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(\log_2 x)^2-\log_2 4x&=&0
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2-\log_2 (x{\, \small \times \,}4)&=&0
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2-(\log_2 x+\log_2 4)&=&0
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2-\log_2 x-\log_2 2^2&=&0
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2-\log_2 x-2&=&0\end{eqnarray}\)

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\(\log_2 x=t\) とおき、\(t\) の2次方程式を解くと、

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\(\begin{eqnarray}~~~t^2-t-2&=&0
\\[3pt]~~~(t-2)(t+1)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)

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　\(t=-1\) のとき、\(t=\log_2 x\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 x&=&-1
\\[3pt]~~~x&=&2^{-1}
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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　\(t=2\) のとき、\(t=\log_2 x\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 x&=&2
\\[3pt]~~~x&=&2^2
\\[3pt]~~~x&=&4\end{eqnarray}\)

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どちらも \({\small [\,1\,]}\) を満たすので、

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したがって、

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　この方程式の解は \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~4\) となる

 
 

\(\log_3 x-10\log_x 3=3\) について、

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真数条件と底の条件より、

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　\(x \gt 0\) かつ \(x \neq 1\) \(\cdots {\small [\,1\,]}\)

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方程式を式変形すると、

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底の変換公式 \(\log_x 3=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\log_3 x\,}\) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}~~~\log_3 x-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,\log_3 x\,}&=&3\end{eqnarray}\)

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\(\log_3 x=t\) とおき、\(t\) の2次方程式を解くと、

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\(x \neq 1\) より \(t \neq 0\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~t-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,t\,}&=&3
\\[5pt]~~~\left(t-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,t\,}\right){\, \small \times \,}t&=&3{\, \small \times \,}t
\\[5pt]~~~t^2-10&=&3t
\\[3pt]~~~t^2-3t-10&=&0
\\[3pt]~~~(t-5)(t+2)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&-2~,~5\end{eqnarray}\)

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　\(t=-2\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~\log_3 x&=&-2
\\[3pt]~~~x&=&3^{-2}
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)

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　\(t=5\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~\log_3 x&=&5
\\[3pt]~~~x&=&3^5
\\[3pt]~~~x&=&243\end{eqnarray}\)

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どちらも \({\small [\,1\,]}\) を満たすので、

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したがって、

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　この方程式の解は \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}~,~243\) となる