このページは、「対数関数を含む2次方程式」の練習問題アーカイブページとなります。
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対数関数を含む2次方程式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の方程式を解け。
\({\small (1)}~\) \((\log_3 x)^2-\log_3 x^2=0\)
\({\small (2)}~\) \((\log_2 x)^2+\log_2 4x=4\)
\({\small (1)}~\) \((\log_3 x)^2-\log_3 x^2=0\)
\({\small (2)}~\) \((\log_2 x)^2+\log_2 4x=4\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.189 演習問題A 6
\({\small (1)}~(\log_3 x)^2-\log_3 x^2=0\) について、
それぞれの真数条件より、
\(x \gt 0\) かつ \(x^2 \gt 0\)
よって、\(x \gt 0\cdots {\small [\,1\,]}\)
方程式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\log_3 x)^2-\log_3 x^2&=&0
\\[3pt]~~~(\log_3 x)^2-2\log_3 x&=&0\end{eqnarray}\)
\(\log_3 x=t\) とおき、\(t\) の2次方程式を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2-2t&=&0
\\[3pt]~~~t(t-2)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
\(t=0\) のとき、\(t=\log_3 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_3 x&=&0
\\[3pt]~~~x&=&3^0
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
\(t=2\) のとき、\(t=\log_3 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_3 x&=&2
\\[3pt]~~~x&=&3^2
\\[3pt]~~~x&=&9\end{eqnarray}\)
どちらも \({\small [\,1\,]}\) を満たすので、
したがって、
この方程式の解は \(x=1~,~9\) となる
\({\small (2)}~(\log_2 x)^2+\log_2 4x=4\) について、
それぞれの真数条件より、
\(x \gt 0\) かつ \(4x \gt 0\)
よって、\(x \gt 0\cdots {\small [\,1\,]}\)
方程式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\log_2 x)^2+\log_2 4x&=&4
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2+\log_2 (x{\, \small \times \,}4)&=&4
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2+(\log_2 x+\log_2 4)&=&4
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2+\log_2 x+\log_2 2^2&=&4
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2+\log_2 x+2&=&4
\\[3pt]~~~(\log_2 x)^2+\log_2 x-2&=&0\end{eqnarray}\)
\(\log_2 x=t\) とおき、\(t\) の2次方程式を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2+t-2&=&0
\\[3pt]~~~(t+2)(t-1)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)
\(t=-2\) のとき、\(t=\log_2 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 x&=&-2
\\[3pt]~~~x&=&2^{-2}
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(t=1\) のとき、\(t=\log_2 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 x&=&1
\\[3pt]~~~x&=&2^1
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
どちらも \({\small [\,1\,]}\) を満たすので、
したがって、
この方程式の解は \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~2\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02方程式 \(2(\log_2 x)^2+\log_2 x^3-2=0\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \(\log_2 x=t\) とおいて得られる \(t\) の方程式を作れ。
\({\small (2)}~\) 与えられた方程式を解け。
\({\small (1)}~\) \(\log_2 x=t\) とおいて得られる \(t\) の方程式を作れ。
\({\small (2)}~\) 与えられた方程式を解け。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.178 問題 13
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.173 補充問題 9
\(2(\log_2 x)^2+\log_2 x^3-2=0\) について、
それぞれの真数条件より、
\(x \gt 0\) かつ \(x^3 \gt 0\)
よって、\(x \gt 0\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}~\)方程式を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(\log_2 x)^2+\log_2 x^3-2&=&0
\\[3pt]~~~2(\log_2 x)^2+3\log_2 x-2&=&0\end{eqnarray}\)
\(\log_2 x=t\) とおくと、
\(2t^2+3t-2=0\)
したがって、
\(t\) の方程式は \(2t^2+3t-2=0\) となる
\({\small (2)}~\)\(t\) の2次方程式を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~2t^2+3t-2&=&0
\\[3pt]~~~(2t-1)(t+2)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-2\end{eqnarray}\)
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\(t=\log_2 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~x&=&2^{\large \frac{1}{2}}
\\[3pt]~~~x&=&\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(t=-2\) のとき、\(t=\log_2 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 x&=&-2
\\[3pt]~~~x&=&2^{-2}
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
どちらも \({\small [\,1\,]}\) を満たすので、
したがって、
この方程式の解は \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~\sqrt{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の方程式を解け。
\((\log_3 x)^2-2\log_3 x-3=0\)
\((\log_3 x)^2-2\log_3 x-3=0\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.186 練習問題A 5(3)
\((\log_3 x)^2-2\log_3 x-3=0\) について、
真数条件より、
\(x \gt 0\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\log_3 x=t\) とおき、\(t\) の2次方程式を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2-2t-3&=&0
\\[3pt]~~~(t-3)(t+1)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&-1~,~3\end{eqnarray}\)
\(t=-1\) のとき、\(t=\log_3 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_3 x&=&-1
\\[3pt]~~~x&=&3^{-1}
\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(t=3\) のとき、\(t=\log_3 x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_3 x&=&3
\\[3pt]~~~x&=&3^3
\\[3pt]~~~x&=&27\end{eqnarray}\)
どちらも \({\small [\,1\,]}\) を満たすので、
したがって、
この方程式の解は \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~27\) となる
