- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「対数関数を含む関数の最大値・最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜対数関数を含む関数の最大値・最小値
指数関数と対数関数 34\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) のとき、対数関数 \(y=(\log_{2}x)^2-4\log_{2}x\) の最大値・最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
対数関数を含む関数の最大値・最小値
Point：対数関数を含む関数の最大値・最小値
① \(x\) の値の範囲から、\(\log_{2}x=t\) の範囲を求める。
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) より、
\(\log_{2}1{\small ~≦~}\log_{2}x{\small ~≦~}\log_{2}8\)
よって、\(0{\small ~≦~}t{\small ~≦~}3\)
② \(\log_{2}x=t\) と置き、\(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成する。
\(y=t^2-4t=(t-2)^2-4\)
③ グラフより、最大値・最小値とそのときの \(t\) の値を求め、\(x\) の値を求める。
\(\log_{2}x=t\) と置き換える関数の最大値・最小値は、
① \(x\) の値の範囲から、\(\log_{2}x=t\) の範囲を求める。
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) より、
\(\log_{2}1{\small ~≦~}\log_{2}x{\small ~≦~}\log_{2}8\)
よって、\(0{\small ~≦~}t{\small ~≦~}3\)
② \(\log_{2}x=t\) と置き、\(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成する。
\(y=t^2-4t=(t-2)^2-4\)
③ グラフより、最大値・最小値とそのときの \(t\) の値を求め、\(x\) の値を求める。
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詳しい解説｜対数関数を含む関数の最大値・最小値
指数関数と対数関数 34
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) のとき、対数関数 \(y=(\log_{2}x)^2-4\log_{2}x\) の最大値・最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(\log_{2}x=t\) とおくと、
\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) の各辺に底 \(2\) の対数をとることで、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}1&{\small ~≦~}&\log_{2}x{\small ~≦~}\log_{2}8
\\[3pt]~~~\log_{2}1&{\small ~≦~}&\log_{2}x{\small ~≦~}\log_{2}2^3\end{eqnarray}\)
よって、\(0{\small ~≦~}t{\small ~≦~}3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&t^2-4t
\\[3pt]~~~&=&(t^2-4t+4)-4
\\[3pt]~~~&=&(t-2)^2-4\end{eqnarray}\)
頂点 \((2~,~-4)\) の下に凸のグラフより、
\(t=0\) のとき最大値をとり、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0^2-4 \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
このときの \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}x&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2^0
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
また、\(t=2\) のとき頂点の \(y\) 座標 \(-4\) が最小値であり、
このときの \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}x&=&2
\\[3pt]~~~x&=&2^2
\\[3pt]~~~x&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=1\) のとき最大値 \(0\)
\(x=4\) のとき最小値 \(-4\)
