真数が2次関数となる対数関数

\(y=\log_{2}x+\log_{2}(4-x)\) について、

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真数条件より、\(x \gt 0\) かつ \(4-x \gt 0\)

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\(\begin{eqnarray}~~~4-x &\gt& 0
\\[3pt]~~~-x &\gt& -4
\\[3pt]~~~x &\lt& 4\end{eqnarray}\)

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よって、\(0 \lt x \lt 4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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対数の和は真数の積より、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\log_{2}x+\log_{2}(4-x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}x(4-x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}(-x^2+4x)\end{eqnarray}\)

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ここで、\(t=-x^2+4x\) とおき、平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-x^2+4x
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-4x+4-4)
\\[3pt]~~~&=&-(x-2)^2+4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) の範囲では \(t\) は頂点 \((2~,~4)\) の上に凸のグラフとなる

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よって、\(x=2\) のとき \(t\) は最大値をとる

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\(x=2\) のとき \(t\) の最大値は \(4\) であるから、そのときの \(y\) の値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\log_{2}4
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}2^2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(x=2\) のとき最大値 \(2\) をとる

 
 

\(x+y=4\) のとき、

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　\(y=4-x~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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\(s=\log_{2}x+\log_{2}y\) とおくと、

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真数条件より、\(x \gt 0\) かつ \(y \gt 0\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~y=4-x &\gt& 0
\\[3pt]~~~-x &\gt& -4
\\[3pt]~~~x &\lt& 4\end{eqnarray}\)

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よって、\(0 \lt x \lt 4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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対数の和は真数の積より、

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\(\begin{eqnarray}~~~s&=&\log_{2}x+\log_{2}y
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}xy\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より \(y=4-x\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~s&=&\log_{2}x(4-x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}(-x^2+4x)\end{eqnarray}\)

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ここで、\(t=-x^2+4x\) とおき、平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-x^2+4x
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-4x+4-4)
\\[3pt]~~~&=&-(x-2)^2+4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) の範囲では \(t\) は頂点 \((2~,~4)\) の上に凸のグラフとなる

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よって、\(x=2\) のとき \(t\) は最大値をとる

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\(x=2\) のとき \(t\) の最大値は \(4\) であるから、そのときの \(s\) の値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~s&=&\log_{2}4
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}2^2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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また、\(x=2\) のとき \({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&4-2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(x=2~,~y=2\) のとき最大値 \(2\) をとる