このページは、「真数が2次関数となる対数関数」の練習問題アーカイブページとなります。
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真数が2次関数となる対数関数 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(y=\log_{2}x+\log_{2}(16-x)\) の最大値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.189 演習問題B 9
\(y=\log_{2}x+\log_{2}(16-x)\) について、
真数条件より、\(x \gt 0\) かつ \(16-x \gt 0\)
\(\begin{eqnarray}~~~16-x &\gt& 0
\\[3pt]~~~-x &\gt& -16
\\[3pt]~~~x &\lt& 16\end{eqnarray}\)
よって、\(0 \lt x \lt 16~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
対数の和は真数の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\log_{2}x+\log_{2}(16-x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}x(16-x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}(-x^2+16x)\end{eqnarray}\)
ここで、\(t=-x^2+16x\) とおき、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-x^2+16x
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-16x+64-64)
\\[3pt]~~~&=&-(x-8)^2+64\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) の範囲では \(t\) は頂点 \((8~,~64)\) の上に凸のグラフで、\(x=8\) のとき \(t\) は最大値 \(64\) をとり、そのときの \(y\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\log_{2}64
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}2^6
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=8\) のとき最大値 \(6\) をとる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02関数 \(y=\log_{2}(x-1)+\log_{2}(5-x)\) の最大値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.180 章末問題B 12
\(y=\log_{2}(x-1)+\log_{2}(5-x)\) について、
真数条件より、\(x-1 \gt 0\) かつ \(5-x \gt 0\)
\(\begin{eqnarray}~~~x-1 &\gt& 0
\\[3pt]~~~x &\gt& 1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~5-x &\gt& 0
\\[3pt]~~~-x &\gt& -5
\\[3pt]~~~x &\lt& 5\end{eqnarray}\)
よって、\(1 \lt x \lt 5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
対数の和は真数の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\log_{2}(x-1)+\log_{2}(5-x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}(x-1)(5-x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}(-x^2+6x-5)\end{eqnarray}\)
ここで、\(t=-x^2+6x-5\) とおき、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-x^2+6x-5
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-6x+9-9)-5
\\[3pt]~~~&=&-(x-3)^2+9-5
\\[3pt]~~~&=&-(x-3)^2+4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) の範囲では \(t\) は頂点 \((3~,~4)\) の上に凸のグラフで、\(x=3\) のとき \(t\) は最大値 \(4\) をとり、そのときの \(y\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\log_{2}4
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}2^2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=3\) のとき最大値 \(2\) をとる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03関数 \(y=\log_{2}x+\log_{2}(8-x)\) について、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) この関数の定義域を求めよ。
\({\small (2)}~\) この関数の最大値を求めよ。
\({\small (1)}~\) この関数の定義域を求めよ。
\({\small (2)}~\) この関数の最大値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.187 練習問題B 13
\({\small (1)}~\)
\(y=\log_{2}x+\log_{2}(8-x)\) について、
真数条件より、\(x \gt 0\) かつ \(8-x \gt 0\)
\(\begin{eqnarray}~~~8-x &\gt& 0
\\[3pt]~~~-x &\gt& -8
\\[3pt]~~~x &\lt& 8\end{eqnarray}\)
したがって、定義域は \(0 \lt x \lt 8\)
\({\small (2)}~\)
対数の和は真数の積より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\log_{2}x+\log_{2}(8-x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}x(8-x)
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}(-x^2+8x)\end{eqnarray}\)
ここで、\(t=-x^2+8x\) とおき、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-x^2+8x
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-8x+16-16)
\\[3pt]~~~&=&-(x-4)^2+16\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}\) の範囲では \(t\) は頂点 \((4~,~16)\) の上に凸のグラフで、\(x=4\) のとき \(t\) は最大値 \(16\) をとり、そのときの \(y\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\log_{2}16
\\[3pt]~~~&=&\log_{2}2^4
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=4\) のとき最大値 \(4\) をとる
