- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「常用対数と累乗の桁数」の基本例題解説ページです。
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問題｜常用対数と累乗の桁数
指数関数と対数関数 37\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、\(2^{31}\) は何桁の整数か？また、\(2^n\) が \(8\) 桁の数となるような \(n\) の値をすべて求めよ。
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
常用対数と累乗の桁数
Point：常用対数と累乗の桁数
① \(2^{31}\) に底が \(10\) の常用対数をとり、その値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{31}&=&31\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&31{\, \small \times \,}0.3010=9.331
\end{eqnarray}\)
② 求めた値より、\(\log_{10}2^{31}\) を連続する2つの整数ではさむ。
\(9 \lt \log_{10}2^{31} \lt 10\)
③ 2つの整数を底が \(10\) の常用対数で表して、真数を比較する。
\(\log_{10}10^9 \lt \log_{10}2^{31} \lt \log_{10}10^{10}\)
よって、\(10^9 \lt 2^{31} \lt 10^{10}\)
④ \(10^9\) と \(10^{10}\) の桁数より、\(2^{31}\) の桁数を求める。
\(10^9\) は10桁の整数で、
\(10^{10}\) は11桁の整数であるから、
\(2^{31}\) は10桁の整数である。
\(2^{31}\) が何桁の整数かの求め方は、
① \(2^{31}\) に底が \(10\) の常用対数をとり、その値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{31}&=&31\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&31{\, \small \times \,}0.3010=9.331
\end{eqnarray}\)
② 求めた値より、\(\log_{10}2^{31}\) を連続する2つの整数ではさむ。
\(9 \lt \log_{10}2^{31} \lt 10\)
③ 2つの整数を底が \(10\) の常用対数で表して、真数を比較する。
\(\log_{10}10^9 \lt \log_{10}2^{31} \lt \log_{10}10^{10}\)
よって、\(10^9 \lt 2^{31} \lt 10^{10}\)
④ \(10^9\) と \(10^{10}\) の桁数より、\(2^{31}\) の桁数を求める。
\(10^9\) は10桁の整数で、
\(10^{10}\) は11桁の整数であるから、
\(2^{31}\) は10桁の整数である。
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Point：常用対数と特定の桁数の整数
① \(8\) 桁の最小の整数 \(10^7\) と \(9\) 桁の最小の整数 \(10^8\) で \(2^n\) をはさむ。
\(10^7{\small ~≦~}2^n \lt 10^8\)
② 各辺を底が \(10\) の常用対数をとり、\(n\) の範囲を求める。
\(\log_{10}10^7{\small ~≦~}\log_{10}2^n \lt \log_{10}10^8\)
よって、\(23.26{\small ~≦~}n \lt 26.58\)
③ 不等式を満たす整数 \(n\) を求める。
\(n=24~,~25~,~26\)
\(8\) 桁の整数となる \(2^n\) の \(n\) の求め方は、
① \(8\) 桁の最小の整数 \(10^7\) と \(9\) 桁の最小の整数 \(10^8\) で \(2^n\) をはさむ。
\(10^7{\small ~≦~}2^n \lt 10^8\)
② 各辺を底が \(10\) の常用対数をとり、\(n\) の範囲を求める。
\(\log_{10}10^7{\small ~≦~}\log_{10}2^n \lt \log_{10}10^8\)
よって、\(23.26{\small ~≦~}n \lt 26.58\)
③ 不等式を満たす整数 \(n\) を求める。
\(n=24~,~25~,~26\)
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詳しい解説｜常用対数と累乗の桁数
指数関数と対数関数 37
\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、\(2^{31}\) は何桁の整数か？また、\(2^n\) が \(8\) 桁の数となるような \(n\) の値をすべて求めよ。
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(2^{31}\) に底が10の対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{31}&=&31~\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&31{\, \small \times \,}0.3010
\\[3pt]~~~&=&9.331\end{eqnarray}\)
よって、この値を2つの整数で挟むと、
\(9 \lt \log_{10}2^{31} \lt 10\)
さらに、\(9\) と \(10\) を底が \(10\) の常用対数で表すと、
\(\log_{10}10^9 \lt \log_{10}2^{31} \lt \log_{10}10^{10}\)
これより、真数を比較すると、
底が10で1より大きいので、大小関係はそのままで、
\(10^9 \lt 2^{31} \lt 10^{10}\)
\(10^9\) は10桁の整数で、
\(10^{10}\) は11桁の整数であるから、
したがって、\(2^{31}\) は10桁の整数である
\(8\) 桁の整数は、\(10^7\) 以上 \(10^8\) より小さい整数であるから、
\(10^7{\small ~≦~}2^n \lt 10^8\)
ここで、各辺に底が \(10\) の常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}10^7&{\small ~≦~}&\log_{10}2^n \lt \log_{10}10^8
\\[3pt]~~~7&{\small ~≦~}&n\log_{10}2 \lt 8\end{eqnarray}\)
\(\log_{10}2=0.3010\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~7&{\small ~≦~}&n{\, \small \times \,}0.3010 \lt 8
\\[3pt]~~~23.26&{\small ~≦~}&n \lt 26.58
\end{eqnarray}\)
\(n\) は整数であるので、\(2^n\) は \(8\) 桁の数となるのは、
\(n=24~,~25~,~26\) のとき
