- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「常用対数と不等式を満たす整数」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜常用対数と不等式を満たす整数
指数関数と対数関数 39\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、不等式 \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n \gt 0.0001\) を満たす最大の整数 \(n\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
常用対数と不等式を満たす整数
Point：常用対数と不等式を満たす整数
① 不等式の両辺に常用対数をとり、\(n\) の範囲を求める。
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n \gt 0.0001\) より、
\(2^{-n} \gt 10^{-4}\)
常用対数をとると、
\(\log_{10}2^{-n} \gt \log_{10}10^{-4}\)
よって、\(n \lt 13.28 \cdots\)
② 不等式を満たす最大の整数 \(n\) を求める。
常用対数を用いて不等式を満たす整数 \(n\) の求め方は、
① 不等式の両辺に常用対数をとり、\(n\) の範囲を求める。
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n \gt 0.0001\) より、
\(2^{-n} \gt 10^{-4}\)
常用対数をとると、
\(\log_{10}2^{-n} \gt \log_{10}10^{-4}\)
よって、\(n \lt 13.28 \cdots\)
② 不等式を満たす最大の整数 \(n\) を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜常用対数と不等式を満たす整数
指数関数と対数関数 39
\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、不等式 \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n \gt 0.0001\) を満たす最大の整数 \(n\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n &\gt& 0.0001
\\[5pt]~~~(2^{-1})^n &\gt& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,10000\,}
\\[5pt]~~~2^{-n} &\gt& 10^{-4}\end{eqnarray}\)
両辺に常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{-n} &\gt& \log_{10}10^{-4}
\\[5pt]~~~-n\log_{10}2 &\gt& -4
\\[5pt]~~~n &\lt& \displaystyle \frac{\,4\,}{\,\log_{10}2\,}\end{eqnarray}\)
\(\log_{10}2=0.3010\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n &\lt& \displaystyle \frac{\,4\,}{\,0.3010\,}
\\[5pt]~~~n &\lt& 13.28 \cdots\end{eqnarray}\)
したがって、これを満たす最大の整数 \(n\) は \(13\)
