- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「常用対数を用いる文章問題」の基本例題解説ページです。
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問題｜常用対数を用いる文章問題
指数関数と対数関数 40\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、ガラスを1枚通ると光の強さが \(1\) 割減るとき、光の強さをはじめの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 以下にするためにはガラスを何枚以上重ねればよいか答えよ？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
常用対数を用いる文章問題
Point：常用対数を用いる文章問題
① 試行を \(1\) 回行ったときの結果を調べる。
ガラス1枚を通すと、
光の強さは、\(1-0.1=0.9\) 倍
② \(n\) 回行ったときの条件より、不等式を立てる。
\(n\) 枚通したとき、
はじめの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 以下になるので、\(0.9^n{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
③ 常用対数をとり、不等式を満たす整数 \(n\) の値を求める。
\(\log_{10}0.9^n{\small ~≦~}\log_{10}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
\(~\Leftrightarrow ~ n{\small ~≧~}10.417\cdots\)
よって、 \(n=11\) のとき。
常用対数を用いる文章問題は、
① 試行を \(1\) 回行ったときの結果を調べる。
ガラス1枚を通すと、
光の強さは、\(1-0.1=0.9\) 倍
② \(n\) 回行ったときの条件より、不等式を立てる。
\(n\) 枚通したとき、
はじめの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 以下になるので、\(0.9^n{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
③ 常用対数をとり、不等式を満たす整数 \(n\) の値を求める。
\(\log_{10}0.9^n{\small ~≦~}\log_{10}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
\(~\Leftrightarrow ~ n{\small ~≧~}10.417\cdots\)
よって、 \(n=11\) のとき。
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詳しい解説｜常用対数を用いる文章問題
指数関数と対数関数 40
\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、ガラスを1枚通ると光の強さが \(1\) 割減るとき、光の強さをはじめの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 以下にするためにはガラスを何枚以上重ねればよいか答えよ？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
はじめの光の強さから、ガラスを \(1\) 枚通したときの光の強さは、
\(1-0.1=0.9\)
よって、ガラスを \(n\) 枚通したときの光の強さは、
\(0.9^n\)
これが、はじめの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 以下となるので、
\(0.9^n{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}0.9^n&{\small ~≦~}&\log_{10}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~n \cdot \log_{10}\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}&{\small ~≦~}&\log_{10}3^{-1}
\\[5pt]~~~n \cdot \left(\log_{10}3^2-\log_{10}10\right)&{\small ~≦~}&-\log_{10}3
\\[5pt]~~~n \cdot (2\log_{10}3-1)&{\small ~≦~}&-\log_{10}3\end{eqnarray}\)
ここで、\(\log_{10}3=0.4771\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n \cdot (2 {\, \small \times \,} 0.4771-1)&{\small ~≦~}&-0.4771
\\[3pt]~~~-0.0458n&{\small ~≦~}&-0.4771
\\[3pt]~~~n&{\small ~≧~}&10.417\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最小の整数は、\(n=11\)
したがって、ガラスを \(11\) 枚以上重ねればよい
