このページは、「常用対数を用いる文章問題」の練習問題アーカイブページとなります。
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常用対数を用いる文章問題 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) とする。あるガラス板を1枚通るごとに、光線はその強さの1割を失う。このガラス板を何枚以上重ねると、これを通ってきた光線の強さが、もとの強さの半分以下になるか。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.186 練習28
はじめの光の強さから、ガラス板を \(1\) 枚通したときの光線の強さは、
\(1-0.1=0.9\)
よって、ガラス板を \(n\) 枚通したときの光線の強さは、
\(0.9^n\)
これが、もとの強さの半分以下となるので、
\(0.9^n{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}0.9^n&{\small ~≦~}&\log_{10}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~n \cdot \log_{10}\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}&{\small ~≦~}&\log_{10}2^{-1}
\\[3pt]~~~n \cdot \left(\log_{10}3^2-\log_{10}10\right)&{\small ~≦~}&-\log_{10}2
\\[3pt]~~~n \cdot (2\log_{10}3-1)&{\small ~≦~}&-\log_{10}2\end{eqnarray}\)
ここで、\(\log_{10}2=0.3010~,~\log_{10}3=0.4771\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n \cdot (2 {\, \small \times \,} 0.4771-1)&{\small ~≦~}&-0.3010
\\[3pt]~~~-0.0458n&{\small ~≦~}&-0.3010
\\[3pt]~~~n&{\small ~≧~}&6.572\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最小の整数は、\(n=7\)
したがって、ガラス板を \(7\) 枚以上重ねればよい
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02放射性元素の原子核は、粒子を放出して別の原子核に変化し、もとの原子核の数は減少していく。放射性元素の初めの原子核の数を \(N_0\) とし、この原子核の数が初めの数の半数になるまでの時間を \(T\) 年とすると、\(t\) 年後に存在する原子核の数 \(N\) について、関係式 \(N=N_0\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{\large \frac{t}{T}}\) が成り立つ。初めの原子核の数が半数になるのに1600年かかる放射性元素について、原子核の数が初めの数の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\) になるのは約何年後か。ただし、\(\log_{10}2=0.3010\) とし、答えは整数で求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.188 問題 14
\(T=1600\) を関係式に代入すると、
\(N=N_0\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{\large \frac{t}{1600}}\)
原子核の数が初めの数の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\) になるので、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{\large \frac{t}{1600}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\)
常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{\large \frac{t}{1600}}&=&\log_{10}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,t\,}{\,1600\,} \cdot \log_{10}2^{-1}&=&\log_{10}10^{-1}
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,t\,}{\,1600\,} \cdot \log_{10}2&=&-1
\\[5pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,1600\,}{\,\log_{10}2\,}
\\[5pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,1600\,}{\,0.3010\,}
\\[5pt]~~~t&=&5315.614\cdots\end{eqnarray}\)
したがって、約 \(5316\) 年後
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03ある菌は、30分ごとにその個数が2倍に増えるという。菌の個数がある時点の10万倍を超えるのは、その時点から何時間後か。ただし、\(\log_{10}2=0.3010\) とし、答えは整数で求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.179 章末問題A 8
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.174 章末問題A 8
30分ごとに個数が2倍に増えるので、\(n\) 時間後の菌の個数は、
\(2^{2n}\) 倍
これが、10万倍を超えるので、
\(2^{2n} \gt 10^5\)
常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{2n}& \gt &\log_{10}10^5
\\[3pt]~~~2n \cdot \log_{10}2& \gt &5
\\[3pt]~~~2n {\, \small \times \,} 0.3010& \gt &5
\\[3pt]~~~0.6020n& \gt &5
\\[3pt]~~~n& \gt &8.305\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最小の整数は、\(n=9\)
したがって、9時間後
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04ある浄水器で水をろ過すると、1回ごとに水の不純物の量を \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) にすることができる。繰り返しろ過を行うことで、水の不純物の量をもとの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\) 以下にするには、何回以上ろ過を行えばよいか。ただし、\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) とする。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.184 問23
1回ろ過すると不純物の量は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) になるので、\(n\) 回ろ過したときの不純物の量は、
\(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n\) 倍
これが、もとの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\) 以下となるので、
\(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\)
常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^n&{\small ~≦~}&\log_{10}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}
\\[5pt]~~~n \cdot (\log_{10}2-\log_{10}3)&{\small ~≦~}&-2
\\[5pt]~~~n \cdot (0.3010-0.4771)&{\small ~≦~}&-2
\\[5pt]~~~-0.1761n&{\small ~≦~}&-2
\\[5pt]~~~n&{\small ~≧~}&11.357\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最小の整数は、\(n=12\)
したがって、\(12\) 回以上ろ過を行えばよい
問題アーカイブ05
問題アーカイブ051時間ごとに2倍の割合で増殖するバクテリアが \(10^3\) 倍になるのにかかる時間と、1時間ごとに12倍の割合で増殖するバクテリアが \(10^{10}\) 倍になるのにかかる時間では、どちらが長いか。ただし、\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) とする。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.186 練習問題A 8
1時間ごとに2倍で増殖するバクテリアが \(10^3\) 倍になる時間を \(t_1\) 時間とすると、
\(2^{t_1}=10^3\)
常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{t_1}&=&\log_{10}10^3
\\[5pt]~~~t_1\cdot \log_{10}2&=&3
\\[5pt]~~~t_1&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\log_{10}2\,}
\\[5pt]~~~t_1&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,0.3010\,}
\\[5pt]~~~t_1&=&9.966\cdots\end{eqnarray}\)
1時間ごとに12倍で増殖するバクテリアが \(10^{10}\) 倍になる時間を \(t_2\) 時間とすると、
\(12^{t_2}=10^{10}\)
常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}12^{t_2 }&=&\log_{10}10^{10}
\\[5pt]~~~t_2 \cdot \log_{10}12&=&10
\\[5pt]~~~t_2 \cdot \log_{10}(2^2 {\, \small \times \,} 3)&=&10
\\[5pt]~~~t_2 \cdot (2\log_{10}2+\log_{10}3)&=&10
\\[5pt]~~~t_2&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\log_{10}2+\log_{10}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2 \times 0.3010+0.4771\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,1.0791\,}
\\[5pt]~~~&=&9.267\cdots\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~t_2 \cdot \log_{10}12&=&10
\\[5pt]~~~t_2 \cdot \log_{10}(2^2 {\, \small \times \,} 3)&=&10
\\[5pt]~~~t_2 \cdot (2\log_{10}2+\log_{10}3)&=&10
\\[5pt]~~~t_2&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\log_{10}2+\log_{10}3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2 \times 0.3010+0.4771\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,1.0791\,}
\\[5pt]~~~&=&9.267\cdots\end{eqnarray}\)
したがって、\(t_1 \gt t_2\) より、
1時間ごとに2倍で増殖するバクテリアが \(10^3\) 倍になる方が長い
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06光があるガラス板を1枚通り抜けるごとに、その光の強さが \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\) になるという。光の強さがはじめの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 以下になるのは、ガラス板を何枚以上重ねたときか。ただし、\(\log_{10}3=0.4771\) とする。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.195 Level Up 14
ガラス板を1枚通り抜けると光の強さは \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\) になるので、ガラス板を \(n\) 枚重ねたときの光の強さは、
\(\left(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\right)^n\) 倍
これが、はじめの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 以下となるので、
\(\left(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\right)^n{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~n \cdot \log_{10}\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}&{\small ~≦~}&\log_{10}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~n \cdot (\log_{10}3^2-\log_{10}10)&{\small ~≦~}&-\log_{10}3
\\[3pt]~~~n \cdot (2\log_{10}3-1)&{\small ~≦~}&-\log_{10}3\end{eqnarray}\)
ここで、\(\log_{10}3=0.4771\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n \cdot (2 \times 0.4771-1)&{\small ~≦~}&-0.4771
\\[3pt]~~~-0.0458n&{\small ~≦~}&-0.4771
\\[3pt]~~~n&{\small ~≧~}&10.417\cdots\end{eqnarray}\)
これを満たす最小の整数は、\(n=11\)
したがって、ガラス板を11枚以上重ねたとき
