- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「常用対数と累乗の最高位の数字」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜常用対数と累乗の最高位の数字
指数関数と対数関数 41☆\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、\(2^{31}\) の最高位の数字の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
常用対数と累乗の最高位の数字
Point：常用対数と累乗の最高位の数字
① \(2^{31}\) に底を \(10\) とする常用対数をとり、その値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{31}&=&31\log_{10}2\\[3pt]~~~&=&9.331\end{eqnarray}\)
② この値の小数部分と常用対数の値を比較して不等式を立てる。
\(\log_{10}2 \lt 0.331 \lt \log_{10}3\)
③ この不等式より、\(\log_{10}2^{31}\) をはさむ不等式をつくり、最高位の数字を求める。
\(2{\small \times}10^{9} \lt 2^{31} \lt 3{\small \times}10^{9}\)
これより、最高位の数字は \(2\) となる。
\(2^{31}\) の最高位の数字は、
① \(2^{31}\) に底を \(10\) とする常用対数をとり、その値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{31}&=&31\log_{10}2\\[3pt]~~~&=&9.331\end{eqnarray}\)
② この値の小数部分と常用対数の値を比較して不等式を立てる。
\(\log_{10}2 \lt 0.331 \lt \log_{10}3\)
③ この不等式より、\(\log_{10}2^{31}\) をはさむ不等式をつくり、最高位の数字を求める。
\(2{\small \times}10^{9} \lt 2^{31} \lt 3{\small \times}10^{9}\)
これより、最高位の数字は \(2\) となる。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜常用対数と累乗の最高位の数字
指数関数と対数関数 41☆
\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、\(2^{31}\) の最高位の数字の求め方は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
\(2^{31}\) に底を \(10\) とする常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{31}&=&31\cdot\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&31\cdot0.3010
\\[3pt]~~~&=&9.331\end{eqnarray}\)
この値の小数部分 \(0.331\) について、
\(0.3010 \lt 0.331 \lt 0.4771\) より、
\(\log_{10}2 \lt 0.331 \lt \log_{10}3\)
これより、\(\log_{10}2^{31}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~9+\log_{10}2 &\lt& 9+0.331 \lt 9+\log_{10}3
\\[5pt]~~~9+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}2^{31} \lt 9+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}10^{9}+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}2^{31} \lt \log_{10}10^{9}+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}(2{\small \times}10^{9}) &\lt& \log_{10}2^{31} \lt \log_{10}(3{\small \times}10^{9})
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~9+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}2^{31} \lt 9+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}10^{9}+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}2^{31} \lt \log_{10}10^{9}+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}(2{\small \times}10^{9}) &\lt& \log_{10}2^{31} \lt \log_{10}(3{\small \times}10^{9})
\end{eqnarray}\)
底 \(10\) は \(1\) より大きいので、真数の大小関係はそのままであるので、
\(2{\small \times}10^{9} \lt 2^{31} \lt 3{\small \times}10^{9}\)
\(2{\small \times}10^{9}=2000000000\) で最高位の数字が \(2\) であり、
\(3{\small \times}10^{9}=3000000000\) で最高位の数字が \(3\) であるので、
これにはさまれる \(2^{31}\) の最高位の数字は \(2\) である。
\(3{\small \times}10^{9}=3000000000\) で最高位の数字が \(3\) であるので、
これにはさまれる \(2^{31}\) の最高位の数字は \(2\) である。
したがって、\(2^{31}\) の最高位の数字は \(2\) となる
