このページは、「常用対数と累乗の最高位の数字」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
常用対数と累乗の最高位の数字 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、
\({\small (1)}~\)\(18^{100}\) は何桁の整数か。
\({\small (2)}~\)\(10^{0.52} \lt 4\) を示せ。
\({\small (3)}~\)\(18^{100}\) の最高位の数字を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(18^{100}\) は何桁の整数か。
\({\small (2)}~\)\(10^{0.52} \lt 4\) を示せ。
\({\small (3)}~\)\(18^{100}\) の最高位の数字を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.189 演習問題B 11
\({\small (1)}~\)\(18^{100}\) に底が10の対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}18^{100}&=&100~\log_{10}18
\\[3pt]~~~&=&100~\log_{10}(2{\, \small \times \,}3^2)
\\[3pt]~~~&=&100(\log_{10}2+2\log_{10}3)
\\[3pt]~~~&=&100(0.3010+2{\, \small \times \,}0.4771)
\\[3pt]~~~&=&100{\, \small \times \,}1.2552
\\[3pt]~~~&=&125.52\end{eqnarray}\)
よって、この値を2つの整数で挟むと、
\(125 \lt \log_{10}18^{100} \lt 126\)
さらに、\(125\) と \(126\) を底が \(10\) の常用対数で表すと、
\(\log_{10}10^{125} \lt \log_{10}18^{100} \lt \log_{10}10^{126}\)
これより、真数を比較すると、
底が10で1より大きいので、大小関係はそのままで、
\(10^{125} \lt 18^{100} \lt 10^{126}\)
\(10^{125}\) は126桁の整数で、
\(10^{126}\) は127桁の整数であるから、
したがって、\(18^{100}\) は126桁の整数である
\({\small (2)}~\)\(10^{0.52}\) と \(4\) の大小を比較するために、
それぞれに底が10の常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}10^{0.52}&=&0.52
\\[10pt]~~~\log_{10}4&=&\log_{10}2^2
\\[3pt]~~~&=&2\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}0.3010
\\[3pt]~~~&=&0.6020\end{eqnarray}\)
\(0.52 \lt 0.6020\) より、
\(\log_{10}10^{0.52} \lt \log_{10}4\)
底 \(10\) は \(1\) より大きいので、真数の大小関係はそのままで、
したがって、\(10^{0.52} \lt 4\)
\({\small (3)}~\)\({\small (1)}\) より、\(18^{100}\) に底を \(10\) とする常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}18^{100}&=&125.52\end{eqnarray}\)
この値の小数部分 \(0.52\) について、
\(0.4771 \lt 0.52 \lt 0.6020\) より、
\(\log_{10}3 \lt 0.52 \lt \log_{10}4\)
これより、\(\log_{10}18^{100}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~125+\log_{10}3 &\lt& 125+0.52 \lt 125+\log_{10}4
\\[5pt]~~~125+\log_{10}3 &\lt& \log_{10}18^{100} \lt 125+\log_{10}4
\\[5pt]~~~\log_{10}10^{125}+\log_{10}3 &\lt& \log_{10}18^{100} \lt \log_{10}10^{125}+\log_{10}4
\\[5pt]~~~\log_{10}(3{\small \times}10^{125}) &\lt& \log_{10}18^{100} \lt \log_{10}(4{\small \times}10^{125})
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~125+\log_{10}3 &\lt& \log_{10}18^{100} \lt 125+\log_{10}4
\\[5pt]~~~\log_{10}10^{125}+\log_{10}3 &\lt& \log_{10}18^{100} \lt \log_{10}10^{125}+\log_{10}4
\\[5pt]~~~\log_{10}(3{\small \times}10^{125}) &\lt& \log_{10}18^{100} \lt \log_{10}(4{\small \times}10^{125})
\end{eqnarray}\)
底 \(10\) は \(1\) より大きいので、真数の大小関係はそのままであるので、
\(3{\small \times}10^{125} \lt 18^{100} \lt 4{\small \times}10^{125}\)
\(3{\small \times}10^{125}\) で最高位の数字が \(3\) であり、
\(4{\small \times}10^{125}\) で最高位の数字が \(4\) であるので、
これにはさまれる \(18^{100}\) の最高位の数字は \(3\) である。
したがって、\(18^{100}\) の最高位の数字は \(3\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) とするとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\)\(2^{41}\) の桁数を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(2^{41}\) の最高位の数字を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(2^{41}\) の桁数を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(2^{41}\) の最高位の数字を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.187 練習問題B 16
\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) とする。
\({\small (1)}~\)\(2^{41}\) に底が10の対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{41}&=&41~\log_{10}2
\\[3pt]~~~&=&41{\, \small \times \,}0.3010
\\[3pt]~~~&=&12.341\end{eqnarray}\)
よって、この値を2つの整数で挟むと、
\(12 \lt \log_{10}2^{41} \lt 13\)
さらに、\(12\) と \(13\) を底が \(10\) の常用対数で表すと、
\(\log_{10}10^{12} \lt \log_{10}2^{41} \lt \log_{10}10^{13}\)
これより、真数を比較すると、
底が10で1より大きいので、大小関係はそのままで、
\(10^{12} \lt 2^{41} \lt 10^{13}\)
\(10^{12}\) は13桁の整数で、
\(10^{13}\) は14桁の整数であるから、
したがって、\(2^{41}\) は13桁の整数である
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) より、\(2^{41}\) に底を \(10\) とする常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}2^{41}&=&12.341\end{eqnarray}\)
この値の小数部分 \(0.341\) について、
\(0.3010 \lt 0.341 \lt 0.4771\) より、
\(\log_{10}2 \lt 0.341 \lt \log_{10}3\)
これより、\(\log_{10}2^{41}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~12+\log_{10}2 &\lt& 12+0.341 \lt 12+\log_{10}3
\\[5pt]~~~12+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}2^{41} \lt 12+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}10^{12}+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}2^{41} \lt \log_{10}10^{12}+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}(2{\small \times}10^{12}) &\lt& \log_{10}2^{41} \lt \log_{10}(3{\small \times}10^{12})
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~12+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}2^{41} \lt 12+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}10^{12}+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}2^{41} \lt \log_{10}10^{12}+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}(2{\small \times}10^{12}) &\lt& \log_{10}2^{41} \lt \log_{10}(3{\small \times}10^{12})
\end{eqnarray}\)
底 \(10\) は \(1\) より大きいので、真数の大小関係はそのままであるので、
\(2{\small \times}10^{12} \lt 2^{41} \lt 3{\small \times}10^{12}\)
\(2{\small \times}10^{12}\) で最高位の数字が \(2\) であり、
\(3{\small \times}10^{12}\) で最高位の数字が \(3\) であるので、
これにはさまれる \(2^{41}\) の最高位の数字は \(2\) である。
したがって、\(2^{41}\) の最高位の数字は \(2\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) とするとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\)\(6^n\) が20桁の整数となるような自然数 \(n\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) で求めた \(n\) に対して、\(6^n\) の最高位の数字を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(6^n\) が20桁の整数となるような自然数 \(n\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) で求めた \(n\) に対して、\(6^n\) の最高位の数字を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.195 Level Up 12
\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) とする。
\({\small (1)}~\)\(6^n\) が20桁の整数となるので、
\(10^{19}{\small ~≦~}6^n \lt 10^{20}\)
各辺に底が10の常用対数をとると、
\(19{\small ~≦~}\log_{10}6^n \lt 20\)
ここで、\(\log_{10}6^n\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}6^n&=&n~\log_{10}6
\\[3pt]~~~&=&n~\log_{10}(2{\, \small \times \,}3)
\\[3pt]~~~&=&n(\log_{10}2+\log_{10}3)
\\[3pt]~~~&=&n(0.3010+0.4771)
\\[3pt]~~~&=&0.7781n\end{eqnarray}\)
よって、不等式に代入すると、
\(19{\small ~≦~}0.7781n \lt 20\)
各辺を \(0.7781\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,19\,}{\,0.7781\,}{\small ~≦~}n \lt \displaystyle \frac{\,20\,}{\,0.7781\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~24.41\cdots{\small ~≦~}n \lt 25.70\cdots\end{eqnarray}\)
\(n\) は自然数であるので、
したがって、\(n=25\)
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) より、\(6^{25}\) に底を \(10\) とする常用対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{10}6^{25}&=&0.7781{\, \small \times \,}25
\\[3pt]~~~&=&19.4525\end{eqnarray}\)
この値の小数部分 \(0.4525\) について、
\(0.3010 \lt 0.4525 \lt 0.4771\) より、
\(\log_{10}2 \lt 0.4525 \lt \log_{10}3\)
これより、\(\log_{10}6^{25}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~19+\log_{10}2 &\lt& 19+0.4525 \lt 19+\log_{10}3
\\[5pt]~~~19+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}6^{25} \lt 19+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}10^{19}+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}6^{25} \lt \log_{10}10^{19}+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}(2{\small \times}10^{19}) &\lt& \log_{10}6^{25} \lt \log_{10}(3{\small \times}10^{19})
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~19+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}6^{25} \lt 19+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}10^{19}+\log_{10}2 &\lt& \log_{10}6^{25} \lt \log_{10}10^{19}+\log_{10}3
\\[5pt]~~~\log_{10}(2{\small \times}10^{19}) &\lt& \log_{10}6^{25} \lt \log_{10}(3{\small \times}10^{19})
\end{eqnarray}\)
底 \(10\) は \(1\) より大きいので、真数の大小関係はそのままであるので、
\(2{\small \times}10^{19} \lt 6^{25} \lt 3{\small \times}10^{19}\)
\(2{\small \times}10^{19}\) で最高位の数字が \(2\) であり、
\(3{\small \times}10^{19}\) で最高位の数字が \(3\) であるので、
これにはさまれる \(6^{25}\) の最高位の数字は \(2\) である。
したがって、\(6^{25}\) の最高位の数字は \(2\) となる
