- 数学Ⅱ｜指数関数と対数関数「対数の値が無理数であることの証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜対数の値が無理数であることの証明
指数関数と対数関数 42☆対数の値\(\log_{2}3\)が無理数であることの証明方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
解法のPoint
対数の値が無理数であることの証明
Point：対数の値が無理数であることの証明
① \(\log_{2}3\) が有理数であると仮定し、自然数 \(m~,~n\) の分数で表す。
自然数 \(m~,~n\) より、\(\log_{2}3=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,n\,}\)
② 対数の定義で式変形をして、矛盾を示す。
\(\log_{2}3=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,n\,}\) \(~\Leftrightarrow ~2^m=3^n\)
\(2^m\) は \(2\) の倍数、\(3^n\) は \(3\) の倍数で矛盾する。
③ 背理法より、\(\log_{2}3\) は有理数ではないので、無理数となる。
対数の値が無理数であることの証明は、
① \(\log_{2}3\) が有理数であると仮定し、自然数 \(m~,~n\) の分数で表す。
自然数 \(m~,~n\) より、\(\log_{2}3=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,n\,}\)
② 対数の定義で式変形をして、矛盾を示す。
\(\log_{2}3=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,n\,}\) \(~\Leftrightarrow ~2^m=3^n\)
\(2^m\) は \(2\) の倍数、\(3^n\) は \(3\) の倍数で矛盾する。
③ 背理法より、\(\log_{2}3\) は有理数ではないので、無理数となる。
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詳しい解説｜対数の値が無理数であることの証明
指数関数と対数関数 42☆
対数の値\(\log_{2}3\)が無理数であることの証明方法は？
高校数学Ⅱ｜指数関数と対数関数
[証明] \(\log_{2}3 \gt \log_{2}1\) より、
\(\log_{2}3 \gt 0\)
また、\(\log_{2}3\) が有理数と仮定すると、2つの自然数 \(m~,~n\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_{2}3&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,n\,}
\\[5pt]~~~n \cdot \log_{2}3&=&m
\\[5pt]~~~\log_{2}3^n&=&m\end{eqnarray}\)
対数の定義を用いると、
\(2^m=3^n\)
\(m~,~n\) は自然数より、\(2^m\) は \(2\) の倍数、\(3^n\) は \(3\) の倍数で、\(2^m=3^n\) は矛盾する
したがって、\(\log_{2}3\) は無理数である [終]
