- 数学Ⅱ｜微分と積分「平均の速さと瞬間の速さ」の基本例題解説ページです。
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問題｜平均の速さと瞬間の速さ
微分と積分 01動く点の時間 \(x\) 秒と距離 \(y~{\rm m}\) に \(y=2x^2\) が成立するとき、\(1\) 秒後から \(3\) 秒後までの平均の速さと \(3\) 秒後の瞬間の速さの求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
平均の速さと瞬間の速さ
Point：平均の速さと瞬間の速さ
■ \(a\) 秒から \(b\) 秒までの平均の速さ
\(x=a\) 秒の距離 \(y=2a^2\)
\(x=b\) 秒の距離 \(y=2b^2\)
よって、平均の速さ \(=\displaystyle \frac{\,2b^2-2a^2\,}{\,b-a\,}\)
\(x=t\) 秒の距離 \(y=2t^2\)
\(x=t+h\) 秒の距離 \(y=2(t+h)^2\)
これより、
\(\displaystyle \frac{\,2(t+h)^2-2t^2\,}{\,t+h-t\,}=\displaystyle \frac{\,2(t+h)^2-2t^2\,}{\,h\,}\)
この式の \(h\) が限りなく \(0\) となるとき、
瞬間の速さとなる。
時間 \(x\) 秒と距離 \(y~{\rm m}\) について、\(y=2x^2\) が成り立つとき、
■ \(a\) 秒から \(b\) 秒までの平均の速さ
\(x=a\) 秒の距離 \(y=2a^2\)
\(x=b\) 秒の距離 \(y=2b^2\)
よって、平均の速さ \(=\displaystyle \frac{\,2b^2-2a^2\,}{\,b-a\,}\)
■ \(t\) 秒での瞬間の速さ
\(x=t\) 秒の距離 \(y=2t^2\)
\(x=t+h\) 秒の距離 \(y=2(t+h)^2\)
これより、
\(\displaystyle \frac{\,2(t+h)^2-2t^2\,}{\,t+h-t\,}=\displaystyle \frac{\,2(t+h)^2-2t^2\,}{\,h\,}\)
この式の \(h\) が限りなく \(0\) となるとき、
瞬間の速さとなる。
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詳しい解説｜平均の速さと瞬間の速さ
微分と積分 01
動く点の時間 \(x\) 秒と距離 \(y~{\rm m}\) に \(y=2x^2\) が成立するとき、\(1\) 秒後から \(3\) 秒後までの平均の速さと \(3\) 秒後の瞬間の速さの求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(y=2x^2\) について、
\(x=1\) のとき、
\(y=2 \cdot 1^2=2\)
\(x=3\) のとき、
\(y=2 \cdot 3^2=2 \cdot 9=18\)
よって、平均の速さは
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,18-2\,}{\,3-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&8~\text{m/s}\end{eqnarray}\)
次に、瞬間の速さは、
\(x=3\) のとき、
\(y=2 \cdot 3^2=2 \cdot 9=18\)
\(x=3+h\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2(3+h)^2
\\[3pt]~~~&=&2(9+6h+h^2)
\\[3pt]~~~&=&2h^2+12h+18\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,(2h^2+12h+18)-18\,}{\,(3+h)-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2h^2+12h\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&2h+12\end{eqnarray}\)
瞬間の速さは \(h\) が限りなく \(0\) となるときより、
\(12\) m/s となる
