- 数学Ⅱ｜微分と積分「関数の平均変化率」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数の平均変化率
微分と積分 02関数 \(f(x)=x^2\) について、\(x\) が \(2\) から \(5\) まで変化するときの平均変化率の求め方は？また、\(x\) が \(a\) から \(b\) まで変化するときや \(x\) が \(a\) から \(a+h\) まで変化するときの平均変化率の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
関数の平均変化率
Point：関数の平均変化率
\(\begin{array}{c|c}
x & a~\rightarrow~b \\[3pt]
\hline
~f(x)~ & f(a)~\rightarrow~f(b)
\end{array}\)
\((\,f(x)\) の増加量 \(){\, \small \div \,}\) \((\,x\) の増加量 \()\) より、
平均変化率 \(=\displaystyle \frac{\,f(b)-f(a)\,}{\,b-a\,}\)
関数 \(f(x)\) の \(x\) が \(a\) から \(b\) まで変化するときの平均変化率は、
\(\begin{array}{c|c}
x & a~\rightarrow~b \\[3pt]
\hline
~f(x)~ & f(a)~\rightarrow~f(b)
\end{array}\)
\((\,f(x)\) の増加量 \(){\, \small \div \,}\) \((\,x\) の増加量 \()\) より、
平均変化率 \(=\displaystyle \frac{\,f(b)-f(a)\,}{\,b-a\,}\)
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詳しい解説｜関数の平均変化率
微分と積分 02
関数 \(f(x)=x^2\) について、\(x\) が \(2\) から \(5\) まで変化するときの平均変化率の求め方は？また、\(x\) が \(a\) から \(b\) まで変化するときや \(x\) が \(a\) から \(a+h\) まで変化するときの平均変化率の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^2\) について、
\(x\) が \(2\) から \(5\) まで変化するときの平均変化率は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,5^2-2^2\,}{\,5-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,21\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
\(x\) が \(a\) から \(b\) まで変化するときの平均変化率は、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&\displaystyle \frac{\,b^2-a^2\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(b+a)(b-a)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(b+a)\cancel{(b-a)}\,}{\,\cancel{b-a}\,}
\\[5pt]~~~&=&b+a\end{eqnarray}\)
\(x\) が \(a\) から \(a+h\) まで変化するときの平均変化率は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,(a+h)^2-a^2\,}{\,(a+h)-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2+2ha+h^2-a^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2ha+h^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{h}(2a+h)\,}{\,\cancel{h}\,}
\\[5pt]~~~&=&2a+h\end{eqnarray}\)
