- 数学Ⅱ｜微分と積分「x=aで定義されない関数の極限値」の基本例題解説ページです。
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問題｜x=aで定義されない関数の極限値
微分と積分 04☆極限値 \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,x-2\,}~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to -1}\displaystyle \frac{\,x^2-x-2\,}{\,x+1\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
x=aで定義されない関数の極限値
Point：x=aで定義されない関数の極限値
\(\displaystyle \frac{\,x^2-a^2\,}{\,x-a\,}\) は \(x=a\) で定義されない。
よって、\(x \neq a\) のとき、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,(x+a)(x-a)\,}{\,x-a\,}=x+a\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to a}(x+a)=2a\)
\(x=a\) で定義されない関数の極限値は、
\(\displaystyle \frac{\,x^2-a^2\,}{\,x-a\,}\) は \(x=a\) で定義されない。
よって、\(x \neq a\) のとき、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,(x+a)(x-a)\,}{\,x-a\,}=x+a\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to a}(x+a)=2a\)
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詳しい解説｜x=aで定義されない関数の極限値
微分と積分 04☆
極限値 \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,x-2\,}~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to -1}\displaystyle \frac{\,x^2-x-2\,}{\,x+1\,}\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,x-2\,}\) は \(x=2\) で定義されないので、
\(x \neq 2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~f(x)&=&\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x+2)(x-2)\,}{\,x-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x+2)\cancel{(x-2)}\,}{\,\cancel{x-2}\,}
\\[5pt]~~~&=&x+2\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,x-2\,}&=&\displaystyle\lim_{x \to 2}(x+2)
\\[5pt]~~~&=&2+2
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,x^2-x-2\,}{\,x+1\,}\) は \(x=-1\) で定義されないので、
\(x \neq -1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle \frac{\,x^2-x-2\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x-2)(x+1)\,}{\,x+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(x-2)\cancel{(x+1)}\,}{\,\cancel{x+1}\,}
\\[5pt]~~~&=&x-2\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{x \to -1}\displaystyle \frac{\,x^2-x-2\,}{\,x+1\,}&=&\displaystyle\lim_{x \to -1}(x-2)
\\[5pt]~~~&=&-1-2
\\[5pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)
