- 数学Ⅱ｜微分と積分「微分係数の定義」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜微分係数の定義
微分と積分 05関数 \(f(x)=x^2\) の \(x=3\) での微分係数 \(f^{\prime}(3)\) を定義に従って求める方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
微分係数の定義
Point：微分係数の定義
\(x=a\) とし、\(x=a+h\) での平均変化率が、
\(\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,(a+h)-a\,}\)
これに、\(h\) が限りなく \(0\) に近づくときの極限値が微分係数 \(f^{\prime}(a)\) となる。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
関数 \(f(x)\) の \(x=a\) での微分係数 \(f^{\prime}(a)\) は、
\(x=a\) とし、\(x=a+h\) での平均変化率が、
\(\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,(a+h)-a\,}\)
これに、\(h\) が限りなく \(0\) に近づくときの極限値が微分係数 \(f^{\prime}(a)\) となる。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜微分係数の定義
微分と積分 05
関数 \(f(x)=x^2\) の \(x=3\) での微分係数 \(f^{\prime}(3)\) を定義に従って求める方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^2\) の \(x=3\) での微分係数 \(f^{\prime}(3)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(3)&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(3+h)-f(3)\,}{\,(3+h)-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,(3+h)^2-3^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,9+6h+h^2-9\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,6h+h^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}(6+h)
\\[5pt]~~~&=&6+0
\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
したがって、\(f^{\prime}(3)=6\) となる
