- 数学Ⅱ｜微分と積分「微分係数と関数の接線の傾き」の基本例題解説ページです。
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問題｜微分係数と関数の接線の傾き
微分と積分 06微分係数の定義を用いて、関数 \(y=x^2\) 上の点 \((3~,~9)\) での接線の傾きの求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
微分係数と関数の接線の傾き
Point：微分係数と関数の接線の傾き
\(\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,(a+h)-a\,}\)
これに、\(h\) が限りなく \(0\) に近づくときの極限値が微分係数 \(f^{\prime}(a)\) となり、接線の傾きとなる。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
関数 \(f(x)\) 上の点 \((a~,~f(a))\) での接線の傾きは、関数 \(f(x)\) の \(x=a\) での微分係数 \(f^{\prime}(a)\) と等しい。
\(x=a\) すなわち \(x=a+h\) での平均変化率は、
\(\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,(a+h)-a\,}\)
これに、\(h\) が限りなく \(0\) に近づくときの極限値が微分係数 \(f^{\prime}(a)\) となり、接線の傾きとなる。
\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}\)
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詳しい解説｜微分係数と関数の接線の傾き
微分と積分 06
微分係数の定義を用いて、関数 \(y=x^2\) 上の点 \((3~,~9)\) での接線の傾きの求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
関数 \(f(x)=x^2\) 上の点 \((3~,~9)\) での接線の傾きは、
関数 \(f(x)\) の \(x=3\) での微分係数 \(f^{\prime}(3)\) に等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(3)&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(3+h)-f(3)\,}{\,(3+h)-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,(3+h)^2-3^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,9+6h+h^2-9\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,6h+h^2\,}{\,h\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{h \to 0}(6+h)
\\[3pt]~~~&=&6+0
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
したがって、傾きは \(6\) となる。
