- 数学Ⅱ｜微分と積分「導関数の定義」の基本例題解説ページです。
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問題｜導関数の定義
微分と積分 07関数 \(f(x)=2x^2~,~\)\(f(x)=x^3\) の導関数 \(f^{\prime}(x)\) を定義に従って求める方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
導関数の定義
Point：導関数の定義
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}\)
※ 関数 \(f(x)\) の \(x\) における \(x\) から \(x+h\) までの平均変化率を求めて、
\(\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,(x+h)-x\,}\)
\(h \to 0\) のときの極限値が導関数 \(f^{\prime}(x)\) となる。
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}=f^{\prime}(x)\)
関数 \(f(x)\) の導関数 \(f^{\prime}(x)\) の定義は、
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}\)
※ 関数 \(f(x)\) の \(x\) における \(x\) から \(x+h\) までの平均変化率を求めて、
\(\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,(x+h)-x\,}\)
\(h \to 0\) のときの極限値が導関数 \(f^{\prime}(x)\) となる。
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}=f^{\prime}(x)\)
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詳しい解説｜導関数の定義
微分と積分 07
関数 \(f(x)=2x^2~,~\)\(f(x)=x^3\) の導関数 \(f^{\prime}(x)\) を定義に従って求める方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
関数 \(f(x)=2x^2\) について、導関数 \(f^{\prime}(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,2(x+h)^2-2x^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,2(x^2+2hx+h^2)-2x^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,2x^2+4hx+2h^2-2x^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,4hx+2h^2\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}(4x+2h)
\\[3pt]~~~&=&4x\end{eqnarray}\)
したがって、\(f^{\prime}(x)=4x\) となる
関数 \(f(x)=x^3\) について、導関数 \(f^{\prime}(x)\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,f(x+h)-f(x)\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,(x+h)^3-x^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{\,3x^2h+3xh^2+h^3\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)
\\[3pt]~~~&=&3x^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(f^{\prime}(x)=3x^2\) となる
